九州大学 2009年度文系数学第2問解答・解説

問題

座標平面に3点 $O (0, 0)$ ， $A (2, 6)$ ， $B (3, 4)$ をとり，点 $O$ から直線 $A B$ に垂線 $O C$ を下ろす。また，実数 $s$ と $t$ に対し，点 $P$ を

O P = s O A + t O B

で定める。このとき，次の問いに答えよ。

(1) 点 $C$ の座標を求め， $∣ C P ∣^{2}$ を $s$ と $t$ を用いて表せ。

(2) $s = \frac{1}{2}$ とし， $t$ を $t ≧ 0$ の範囲で動かすとき， $∣ C P ∣^{2}$ の最小値を求めよ。

(3) $s = 1$ とし， $t$ を $t ≧ 0$ の範囲で動かすとき， $∣ C P ∣^{2}$ の最小値を求めよ。

出典：九州大学 2009年度前期日程第2次学力試験文系第2問

方針

直線ABの方向ベクトルを使って，垂線の足Cを $A + u (B - A)$ の形で求める。その後， $O P = s O A + t O B$ からPの座標を出し， $∣ C P ∣^{2}$ を二次式に展開する。(2)(3)はそれぞれsを固定した一変数二次関数なので，平方完成して頂点が制約 $t ≧ 0$ に入るかを確認する。端点確認を省かないことが重要である。

解答

(1)

直線ABの方向ベクトルは $A B = B - A = (3 - 2, 4 - 6) = (1, - 2)$ である。点Cは直線AB上にあるので，実数 $u$ を用いて $C = A + u A B = (2, 6) + u (1, - 2) = (2 + u, 6 - 2 u)$ と表せる。さらに $O C ⊥ A B$ だから $(2 + u, 6 - 2 u) \cdot (1, - 2) = 0$ である。これを解くと $2 + u - 2 (6 - 2 u) = 0, 5 u - 10 = 0, u = 2$ となる。したがって $C = (4, 2)$ である。

また $O P = s (2, 6) + t (3, 4) = (2 s + 3 t, 6 s + 4 t)$ なので $P = (2 s + 3 t, 6 s + 4 t)$ である。よって $C P = (2 s + 3 t - 4, 6 s + 4 t - 2)$ であり，

∣ C P ∣^{2} = (2 s + 3 t - 4)^{2} + (6 s + 4 t - 2)^{2} = 40 s^{2} + 60 s t - 40 s + 25 t^{2} - 40 t + 20

である。したがって $∣ C P ∣^{2} = 40 s^{2} + 60 s t - 40 s + 25 t^{2} - 40 t + 20$ である。

(2)

$s = 1/2$ を代入すると

∣ C P ∣^{2} = 40 (\frac{1}{2})^{2} + 60 (\frac{1}{2}) t - 40 (\frac{1}{2}) + 25 t^{2} - 40 t + 20 = 25 t^{2} - 10 t + 10

である。平方完成すると $25 t^{2} - 10 t + 10 = 25 (t - \frac{1}{5})^{2} + 9$ である。頂点 $t = 1/5$ は $t ≧ 0$ を満たすので，最小値は $9$ である。

(3)

$s = 1$ を代入すると $∣ C P ∣^{2} = 25 t^{2} + 20 t + 20$ である。平方完成すると $25 t^{2} + 20 t + 20 = 25 (t + \frac{2}{5})^{2} + 16$ であり，頂点は $t = - 2/5$ である。これは条件 $t ≧ 0$ の範囲外にある。二次関数は上に開くので， $t ≧ 0$ では端点 $t = 0$ で最小となる。よって最小値は $20$ である。

九州大学 2009年度文系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

九州大学 2009年度
文系数学第2問