九州大学 2008年度文系数学第4問解答・解説

問題

放物線 $C : y = x^{2} - 1$ と $a_{1} > 1$ を満たす実数 $a_{1}$ を考える。このとき，次の問いに答えよ。

(1) $C$ 上の点 $(a_{1}, a_{1}^{2} - 1)$ における接線と $x$ 軸との交点の $x$ 座標を $a_{2}$ とするとき， $a_{2}$ を $a_{1}$ を用いて表せ。

(2) (1)で求めた $a_{2}$ に対して， $C$ 上の点 $(a_{2}, a_{2}^{2} - 1)$ における接線と $x$ 軸との交点の $x$ 座標を $a_{3}$ とする。この操作を繰り返してできる数列を $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}, \dots$ とする。このとき，すべての $n$ に対して， $a_{n} > 1$ を示せ。

(3) $b_{n} = \frac{1}{2} (a_{n} - 1)$ とおくとき，すべての $n$ に対して， $b_{n + 1} < b_{n}^{2}$ を示せ。

(4) $a_{1} = 2$ のとき， $b_{n} < 10^{- 12}$ となる $n$ の値を1つ求めよ。ただし，必要があれば， $lo g_{10} 2$ を0.301として計算してよい。

出典：九州大学 2008年度前期日程第2次学力試験文系第4問

方針

接線の $x$ 軸切片を計算して漸化式 $a_{n + 1} = (a_{n}^{2} + 1) / (2 a_{n})$ を得る。この式から $a_{n + 1} - 1 = (a_{n} - 1)^{2} / (2 a_{n})$ と変形すれば， $a_{n} > 1$ の帰納法がそのまま通る。さらに $b_{n} = (a_{n} - 1) /2$ に移すと $b_{n + 1} = b_{n}^{2} / a_{n}$ となるので，平方で急速に小さくなることを利用して具体的な $n$ を選ぶ。

解答

(1)

$C : y = x^{2} - 1$ の $x = a_{1}$ における接線の傾きは $2 a_{1}$ である。したがって接線は $y = 2 a_{1} (x - a_{1}) + a_{1}^{2} - 1 = 2 a_{1} x - a_{1}^{2} - 1$ である。これと $x$ 軸との交点では $y = 0$ だから $0 = 2 a_{1} x - a_{1}^{2} - 1$ より $a_{2} = \frac{a _{1}^{2} + 1}{2 a _{1}}$ である。

(2)

同じ計算を一般の $a_{n}$ に対して行うと $a_{n + 1} = \frac{a _{n}^{2} + 1}{2 a _{n}}$ である。ここで $a_{n} > 1$ と仮定すると $a_{n + 1} - 1 = \frac{a _{n}^{2} + 1 - 2 a _{n}}{2 a _{n}} = \frac{( a _{n} - 1 ) ^{2}}{2 a _{n}} > 0$ である。初めに $a_{1} > 1$ が与えられているので，数学的帰納法によりすべての自然数 $n$ について $a_{n} > 1$ が成り立つ。

(3)

$b_{n} = (a_{n} - 1) /2$ だから $a_{n} = 1 + 2 b_{n}$ であり，(2)の変形から $b_{n + 1} = \frac{a _{n + 1} - 1}{2} = \frac{( a _{n} - 1 ) ^{2}}{4 a _{n}} = \frac{b _{n}^{2}}{a _{n}}$ である。(2)より $a_{n} > 1$ ，また $b_{n} > 0$ なので $b_{n + 1} = \frac{b _{n}^{2}}{a _{n}} < b_{n}^{2}$ となる。

(4)

$a_{1} = 2$ のとき $b_{1} = \frac{a _{1} - 1}{2} = \frac{1}{2}$ である。(3)を繰り返すと， $n ≧ 2$ について $b_{n} < (\frac{1}{2})^{2^{n - 1}}$ となる。たとえば $n = 7$ とすると $b_{7} < (\frac{1}{2})^{64} = 1 0^{- 64 l o g_{10} 2}$ である。 $lo g_{10} 2 = 0.301$ としてよいから $64 lo g_{10} 2 = 64 \cdot 0.301 = 19.264 > 12$ であり， $b_{7} < 1 0^{- 12}$ が従う。したがって条件を満たす $n$ の値の1つは $7$ である。

九州大学 2008年度文系数学 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

(4)

九州大学 2008年度
文系数学第4問