問題
図のような五角形（角が直角である二等辺三角形と長方形をあわせた図形）において，辺と辺の長さは1，辺と線分の長さは2とする。線分の中点をとする。また，5枚のカードがあり，それぞれに，，，，と書いてある。カードをよくきって1枚引き，もとに戻す。この操作を回繰り返し，回目に引いたカードの文字をとする。たとえば，回目にを引いたとすると，である。このとき，次の問いに答えよ。
(1) との内積を求めよ。
(2) との内積が1である確率を求めよ。
(3) との内積をとする。このとき，となる確率を求めよ。
出典：九州大学 2008年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第3問
方針
図形は を原点に取ると，三角形と長方形の条件から5点の座標が自然に定まる。内積は座標で表にして順序付きの組を数える。(3)は が 軸方向のベクトルになるため， となるカードを特定し，余事象で少なくとも1回出る確率に直す。
解答
(1)
を原点， を 軸， を 軸に平行な辺として座標を取る。，，また は を直角とする二等辺三角形なので とおける。よって である。
(2)
5点の位置ベクトルの内積を順に調べると
となる。内積が1である順序付きの組は の7通りである。カードは戻して引くので全体は 通りあり，求める確率は である。
(3)
(1)の座標から である。したがって とすれば であり， となるのは ，すなわち のときに限られる。
積 が0でないのは， 回すべてで のいずれかを引いたときである。その確率は なので，求める確率は である。