問題
放物線上の点における法線とは，点におけるの接線と点で垂直に交わる直線である。このとき，次の問いに答えよ。
(1) 点におけるの法線の方程式を求めよ。
(2) 軸上の点を通るの法線の本数を求めよ。
出典：九州大学 2008年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第2問
方針
接線の傾き から法線の傾きを決めるが， では接線が水平となり，法線が縦線になるので別扱いする。 の法線が 軸上の点 を通る条件は切片だけで決まり， の実数解の個数に，頂点での縦の法線1本を加えて本数を数える。
解答
(1)
とする。 の導関数は であるから，点 における接線の傾きは である。したがって法線の傾きは で，方程式は である。一方， のとき接線は であるから，法線は である。
(2)
まず の法線 は， の値によらず点 を通る。
次に の法線を考える。この直線が を通る条件は すなわち である。よって のときは の2つがあり，これらの法線は傾きが異なるので互いに別の直線である。 のときは の解はない。
以上より，本数は
である。