九州大学 2008年度文系数学第1問解答・解説

問題

自然数 $n$ に対して， $a_{n} = (cos 2^{n}) (cos 2^{n - 1}) \dots (cos 2) (cos 1)$ とおく。ただし，角の大きさを表すのに弧度法を用いる。このとき，次の問いに答えよ。

(1) $a_{1} = \frac{sin 4}{4 sin 1}$ を示せ。

(2) $a_{n} = \frac{sin 2 ^{n + 1}}{2 ^{n + 1} sin 1}$ を示せ。

(3) $a_{n} < \frac{2}{2 ^{n + 1}}$ を示せ。

出典：九州大学 2008年度前期日程第2次学力試験文系第1問

方針

倍角公式 $sin 2 x = 2 sin x cos x$ を連続して用い，積 $cos 1 cos 2 \dots cos 2^{n}$ を $sin 2^{n + 1}$ と $sin 1$ の商に直す。(1)はその最初の確認であり，(2)は同じ操作を一般の $n$ まで反復する。最後は $sin 2^{n + 1} ≦ 1$ と， $1 > π /4$ から従う $sin 1 > 2 /2$ を組み合わせて，上から評価する。

解答

(1)

倍角公式を2回用いると $sin 4 = 2 sin 2 cos 2 = 2 (2 sin 1 cos 1) cos 2 = 4 sin 1 cos 1 cos 2$ である。 $sin 1 \neq = 0$ だから両辺を $4 sin 1$ で割って $a_{1} = cos 2 cos 1 = \frac{s i n 4}{4 s i n 1}$ を得る。

(2)

$sin 2^{k + 1} = 2 sin 2^{k} cos 2^{k}$ を $k = 0, 1, \dots, n$ について順に用いると，

sin 2^{n + 1} = 2 sin 2^{n} cos 2^{n} = 2^{2} sin 2^{n - 1} cos 2^{n - 1} cos 2^{n} = \dots = 2^{n + 1} sin 1 (cos 1) (cos 2) \dots (cos 2^{n})

となる。したがって $a_{n} = (cos 2^{n}) \dots (cos 2) (cos 1) = \frac{s i n 2 ^{n + 1}}{2 ^{n + 1} s i n 1}$ である。

(3)

任意の実数 $t$ について $sin t ≦ 1$ であり，また $0 < π /4 < 1 < π /2$ なので $sin 1 > sin (π /4) = 2 /2$ である。(2)より

a_{n} = \frac{sin 2 ^{n + 1}}{2 ^{n + 1} sin 1} ≦ \frac{1}{2 ^{n + 1} sin 1} < \frac{2}{2 ^{n + 1}}

となり，示すべき不等式が従う。 $sin 2^{n + 1} < 0$ の場合も，上からの評価なのでそのまま成り立つ。

別解。 $a_{n + 1} = a_{n} cos 2^{n + 1}$ と(1)を用いて数学的帰納法で示してもよい。実際， $a_{n} = sin 2^{n + 1} / (2^{n + 1} sin 1)$ と仮定すると

a_{n + 1} = \frac{sin 2 ^{n + 1} cos 2 ^{n + 1}}{2 ^{n + 1} sin 1} = \frac{sin 2 ^{n + 2}}{2 ^{n + 2} sin 1}

であり，(2)が帰納的に得られる。以後の評価は上の(3)と同じである。

九州大学 2008年度文系数学 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

九州大学 2008年度
文系数学第1問