問題
3辺の長さがそれぞれ，，2で表される三角形がある．長さの辺は他の2辺より長さが短くないとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1) このような三角形が描けるためのの満たす範囲を求めよ．
(2) この三角形の最短の辺と向かい合った角の大きさをとするとき，をを用いて表せ．
(3) が(1)で求めた範囲にあるときのの最小値と，その最小値を与えるの値を求めよ．
方針
まず3つの長さが辺として意味をもつ条件を整理する。，，さらに指定された辺 が他の2辺より短くないことから，実際には が効く。この範囲では が最長辺なので，三角形成立条件は最長辺が他の2辺の和より小さいことに帰着する。(2)では最短辺が であることを確認し，その対角に余弦定理を適用する。(3)は得られた の単調性を見る。
解答
(1)
辺の長さが実数かつ正であるためには が必要である。すなわち である。
さらに，長さ の辺が他の2辺より短くないので，特に である。これより すなわち である。また も必要である。両辺は正なので2乗して すなわち を得る。以上より，実際に残るのは である。
この範囲では が最長辺である。三角形が描けるためには，最長辺が他の2辺の和より小さいこと，すなわち が必要十分である。ここで なので右辺は正であり，2乗して となる。整理すると より である。したがって求める範囲は である。
(2)
(1)の範囲では であるから，最短の辺は である。したがって は，長さ の辺と向かい合う角である。
余弦定理より である。したがって
である。
(3)
(1)の範囲では である。そこで を見ると，これは で単調に増加する。平方根も正の範囲で単調に増加するから， は で単調に増加する。
したがって最小値は左端 でとる。このとき
であるから である。最小値を与える値は である。