問題
% 図は省略図のような1辺の長さが1の正方形がある．この正方形の辺上の点を，コインを投げて表が出れば反時計まわりに1，裏が出れば時計まわりに1動かす試行を考える．点が頂点から出発してこの試行が繰り返し行われるものとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1) 表の出る確率がのコインを投げて，上記の試行を2回繰り返すとき，各頂点，，，に点がある確率をそれぞれ求めよ．同様に上記の試行を3回および4回繰り返すとき，各頂点，，，に点がある確率をそれぞれ求めよ．
(2) 表の出る確率がより大きいコインを投げて，上記の試行を2回繰り返すとき，頂点，，，のうち点が頂点にある確率が最大となることを示せ．同様に3回繰り返すとき，点が頂点にある確率が最大となることを示せ．
方針
頂点を反時計回りに と番号づけ， とみなす。表を ，裏を の移動として，合計移動量を4で割った余りで到達頂点を決める。(1)は表裏同確率なので，各回数について表の回数ごとに二項分布で数える。(2)は表の確率を ，裏の確率を とし，2回後・3回後の各頂点確率を明示して差をとる。 から を使う。
解答
(1)
頂点を反時計回りに と並べ，それぞれ と番号づける。表が出たら ，裏が出たら だけ動くと考え，最後に4で割った余りで頂点を読む。
2回繰り返すと，移動量は のいずれかである。したがって に戻るのは表裏が1回ずつ出た場合， に行くのは2回とも同じ面が出た場合である。よって である。
3回繰り返すと，移動量は奇数なので にはいない。表が2回または裏が3回なら ，表が3回または裏が2回なら であり，対称性から である。
4回繰り返すと，移動量は偶数なので にはいない。表の回数を とすると移動量は である。 では移動量が4の倍数なので にいる。 では移動量が なので にいる。したがって
である。
(2)
裏の出る確率を とおく。仮定より である。
2回後は， にいるのが表裏が1回ずつの場合， にいるのが2回とも同じ面の場合であるから である。したがって である。よって2回後は， にある確率が最大である。
3回後は にいる確率は0である。 にいるのは，表が2回で移動量 となる場合，または表が0回で移動量 となる場合である。よって である。一方， にいるのは，表が3回で移動量 となる場合，または表が1回で移動量 となる場合である。よって である。
差をとると
である。したがって3回後は， にある確率が最大である。