問題
をを満たす数とし，空間内の4点，，，を考える．このとき，次の問いに答えよ．
(1) は正三角形であることを示し，その面積を求めよ．
(2) の重心をとする．は，の両方に垂直であることを示せ．
(3) 四面体の体積を求めよ．またの最小値とその最小値を与えるの値を求めよ．
出典：九州大学 2007年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第2問
方針
(1)は3辺の長さを成分で計算し， を示す。辺の長さは なので，正三角形の面積公式に代入する。(2)は重心 の座標を出し， が 方向であることを確認する。 と はどちらも成分和が0なので，内積が0になる。(3)は(2)で が底面に垂直と分かっているため，底面積 と高さ から体積を作る。最後は 上の三次式の増減を調べて最小値を出す。
解答
(1)
各辺の長さの2乗を計算する。
である。したがって となり， は正三角形である。
正三角形の面積は，一辺の長さを とすると であるから
である。
(2)
重心 の座標は3頂点の座標の平均である。よって である。一方 なので
である。
また である。これらの成分の和はそれぞれ である。したがって
となる。よって は ， の両方に垂直である。
(3)
(2)より， は三角形 を含む平面に垂直である。したがって四面体 の高さは である。 では なので である。よって
である。
ここで とおく。微分すると である。 において， は ， は である。したがって は で最小となる。
このとき だから
である。最小値を与える値は である。