九州大学 2006年度文系数学第4問解答・解説

問題

関数 $f (x) = sin x - \frac{1}{2} - \frac{1}{2}$ について，次の問いに答えよ．ただし， $- π ≦ x ≦ π$ とする．

(1) $f (x) = 0$ となる $x$ を求めよ．

(2) 関数 $y = f (x)$ のグラフの概形を描け．

(3) 実数 $k$ に対し， $f (x) = k$ を満たす $x$ の個数を求めよ．

出典：九州大学 2006年度前期日程第2次学力試験文系第4問

方針

内側の絶対値から外す。 $u = sin x$ と見ると， $u ≦ 1/2$ では $f (x) = ∣ sin x ∣$ ， $u ≧ 1/2$ では $f (x) = 1 - sin x$ である。零点は $∣ sin x - 1/2∣ = 1/2$ から求める。個数は $k$ の値によって水平線 $y = k$ とグラフの交点数が変わるため， $0, 1/2, 1$ を境に場合分けする。

解答

(1)

$f (x) = 0$ は $sin x - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ と同値である。したがって $sin x = 0 または sin x = 1$ である。 $- π ≦ x ≦ π$ でこれを満たすのは $x = - π, 0, π, \frac{π}{2}$ である。

(2)

$u = sin x$ と見る。 $u ≦ 1/2$ のとき $u - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} - u$ なので $f (x) = ∣ - sin x ∣ = ∣ sin x ∣$ である。 $u ≧ 1/2$ のときは $f (x) = ∣ sin x - 1∣ = 1 - sin x$ である。したがって

f (x) = {∣ sin x ∣ 1 - sin x (sin x ≦ 1/2), (sin x ≧ 1/2)

である。グラフは， $x = - π, 0, π, π /2$ で $0$ をとり， $x = - π /2$ で最大値 $1$ をとる。 $0 ≦ x ≦ π$ では $x = π /6, 5 π /6$ で式が $∣ sin x ∣$ から $1 - sin x$ に切り替わる。

(3)

値域は $0 ≦ f (x) ≦ 1$ である。したがって $k < 0$ または $k > 1$ では解はない。 $k = 0$ では(1)より4個である。 $0 < k < 1/2$ のとき， $∣ sin x ∣ = k$ から4個， $1 - sin x = k$ ，すなわち $sin x = 1 - k$ から2個出るので，合計6個である。 $k = 1/2$ のときは $sin x = 1/2$ の2個と $sin x = - 1/2$ の2個で，合計4個である。 $1/2 < k < 1$ のときは $∣ sin x ∣ = k$ のうち $sin x = - k$ だけが有効で，2個である。 $k = 1$ では $sin x = - 1$ だけなので1個である。

よって解の個数は

k k < 0, 1 < k k = 0 0 < k < \frac{1}{2} k = \frac{1}{2} \frac{1}{2} < k < 1 k = 1 解の個数 046421

である。

九州大学 2006年度文系数学 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

九州大学 2006年度
文系数学第4問