問題
空間ベクトル，，について次の問いに答えよ．ただし，とは実数とする．
(1) がと垂直であるとき，すべての実数に対して，
が成り立つことを示せ．ただし，はすべてのベクトルと垂直であるとする．
(2) が，のいずれとも垂直であるとき，すべての実数，に対して，
が成り立つことを示せ．
(3) ，，とするとき，の最小値を与える実数，と，そのときの最小値を求めよ．
出典：九州大学 2006年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第3問
方針
(1)(2)は，指定されたベクトルを「垂直な残り成分」として分ける。長さの2乗を取れば，垂直な成分どうしの内積が0になり，余分な平方が加わるだけなので最小性が分かる。(3)では が の両方に垂直になるように内積条件を立て，(2)を適用する。
解答
(1)
とおく。仮定より である。任意の実数 について
である。右辺の2つのベクトルは垂直なので
である。第1項は0以上だから であり，両辺は長さなので
を得る。 の場合も，第1項が0になるだけで同じ式が成り立つ。
(2)
とおく。仮定より は ， のいずれとも垂直である。任意の実数 について
である。 は， と垂直である。したがって
よって
が成り立つ。
(3)
である。 が と垂直である条件は
であり， すなわち である。また と垂直である条件は すなわち である。これらを解くと である。このとき
である。よって(2)より，最小値を与えるのは であり，その最小値は である。