問題
曲線上に点をとり，点における曲線の接線を，点を通りに垂直な直線をとする．ただし，とする．接線と軸との交点をとし，直線と軸，軸との交点をそれぞれ，とする．また，の面積をとし，曲線と軸および線分で囲まれる図形の面積をとする．このとき次の問いに答えよ．
(1) 点と点の座標をを用いて表せ．
(2) 面積をを用いて表せ．
(3) が成り立つの範囲を求めよ．
出典：九州大学 2006年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第1問
方針
接線と法線をまず式にする。接線の 切片から ，法線の 切片・ 切片から が決まる。 は で線分 が放物線の上にあることを確認して差を積分する。 は底辺 が 軸上にあり，高さが であることから求める。最後は を使って不等式を整理する。
解答
(1)
曲線 の点 における接線の傾きは である。したがって接線 は すなわち である。 とおくと であり， より である。よって の 座標は である。
法線 は接線に垂直であるから傾きは であり， である。 軸との交点 は を代入して より である。したがって の 座標は である。
(2)
法線 の 軸との交点 は， を代入して より である。線分 の方程式は，傾きが法線と同じ なので である。 ではこの直線と放物線 によって囲まれる部分を考えればよい。差は であり，端点 で0， では正である。したがって
(3)
と はどちらも 軸上にあり， である。点 から 軸までの高さは だから である。よって は と同値である。 より両辺を で割り，さらに12倍すると となる。これは である。 だから すなわち， より である。