問題
実数がの範囲を動くとき，平面上で点が描く曲線をとする．を正の実数とし，曲線と軸，軸，および直線で囲まれる部分の面積をとする．このとき次の問いに答えよ．
(1) 面積を求めよ．
(2) の範囲で関数の増減，凹凸を調べ，そのグラフの概形を描け．ただし，であることを用いてよい．
(3) となるがの範囲に存在することを示せ．ただし，必要ならであることを用いてよい．
出典：九州大学 2005年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第5問
方針
(1) は媒介変数 を使い、 によって面積を の積分へ直す。(2) は (1) で得た を微分し、 で増減、 で凹凸を判定する。極限では与えられた から を使う。(3) は が連続かつ単調増加であることを利用し、 を から不等式で示す。
解答
(1)
曲線は で表される。直線 に対応する媒介変数は である。また である。したがって面積 は である。
部分積分、または の微分を用いると である。よって
(2)
(1) より である。微分すると である。 では なので、 は で単調増加する。
さらに である。したがって で 、 で である。よってグラフは で下に凸、 で上に凸であり、 で変曲する。
また である。さらに、与えられた と より である。したがって である。
以上より、グラフは で に近いところから単調増加し、 で凹凸が変わり、水平な直線 に下から近づく概形である。
(3)
(2) より は で連続かつ単調増加である。したがって を示せば、中間値の定理により に解が存在する。
まず である。 より だから である。したがって である。
次に である。 より だから である。よって であり、 である。
以上より である。したがって、 となる が の範囲に存在する。