九州大学 2005年度理系数学第4問解答・解説

問題

実数 $x$ に対して， $[x]$ は $x$ を超えない最大の整数を表す．例えば， $[\frac{3}{2}] = 1$ ， $[2] = 2$ である．このとき， $0 < θ < π$ として次の問いに答えよ．ただし，必要なら $sin α = \frac{1}{2 2}$ となる角 $α$ $(0 < α < \frac{π}{2})$ を用いてよい．

(1) 不等式 $lo g_{2} [\frac{5}{2} + cos θ] ≦ 1$ を満たす $θ$ の範囲を求めよ．

(2) 不等式 $[\frac{3}{2} + lo g_{2} sin θ] ≧ 1$ を満たす $θ$ の範囲を求めよ．

(3) 不等式 $lo g_{2} [\frac{5}{2} + cos θ] ≦ [\frac{3}{2} + lo g_{2} sin θ]$ を満たす $θ$ の範囲を求めよ．

出典：九州大学 2005年度前期日程第2次学力試験理系第4問

方針

(1),(2) は文系第3問と同様に、床関数の不等式を実数不等式へ戻して三角関数の範囲を求める。(3) は左辺 $lo g_{2} [5/2 + cos θ]$ の値が、床関数の値 $1, 2, 3$ に応じて $0, 1, lo g_{2} 3$ になることを利用する。右辺は高々 $1$ なので、左の床関数が $3$ の場合を除外し、床関数が $2$ の場合と $1$ の場合を分けて右辺の必要条件を調べる。

解答

(1)

$0 < θ < π$ では $- 1 < cos θ < 1$ であるから、 $\frac{3}{2} < \frac{5}{2} + cos θ < \frac{7}{2}$ である。したがって $[\frac{5}{2} + cos θ]$ の値は $1, 2, 3$ のいずれかである。 $lo g_{2} [\frac{5}{2} + cos θ] ≦ 1$ は $[\frac{5}{2} + cos θ] ≦ 2$ と同値である。これは $\frac{5}{2} + cos θ < 3$ すなわち $cos θ < \frac{1}{2}$ である。よって $\frac{π}{3} < θ < π$ である。

(2)

$[X] ≧ 1$ は $X ≧ 1$ と同値である。したがって $[\frac{3}{2} + lo g_{2} sin θ] ≧ 1$ は $\frac{3}{2} + lo g_{2} sin θ ≧ 1$ と同値である。よって $lo g_{2} sin θ ≧ - \frac{1}{2}$ であり、 $sin θ ≧ \frac{1}{2}$ となる。 $0 < θ < π$ より、 $\frac{π}{4} ≦ θ ≦ \frac{3 π}{4}$ である。

(3)

まず $L = [\frac{5}{2} + cos θ]$ とおくと、 $L$ は $1, 2, 3$ のいずれかである。また $0 < sin θ ≦ 1$ より $lo g_{2} sin θ ≦ 0$ なので $[\frac{3}{2} + lo g_{2} sin θ] ≦ 1$ である。 $L = 3$ のとき、左辺は $lo g_{2} 3$ であり、これは $1$ より大きい。一方で右辺は高々 $1$ なので、この場合は不可能である。 $L = 2$ のとき、左辺は $lo g_{2} 2 = 1$ である。したがって右辺が $1$ 以上であることが必要十分である。これは (2) と同じく $sin θ ≧ \frac{1}{2}$ である。さらに $L = 2$ は $2 ≦ \frac{5}{2} + cos θ < 3$ すなわち $- \frac{1}{2} ≦ cos θ < \frac{1}{2}$ であり、 $\frac{π}{3} < θ ≦ \frac{2 π}{3}$ である。この範囲では $sin θ ≧ 3 /2 > 1/ 2$ なので、全体が条件を満たす。 $L = 1$ のとき、左辺は $0$ である。したがって右辺が $0$ 以上であればよい。すなわち $[\frac{3}{2} + lo g_{2} sin θ] ≧ 0$ であり、これは $\frac{3}{2} + lo g_{2} sin θ ≧ 0$ と同値である。よって $sin θ ≧ 2^{- 3/2} = \frac{1}{2 2}$ である。また $L = 1$ は $\frac{5}{2} + cos θ < 2$ すなわち $cos θ < - \frac{1}{2}$ なので、 $\frac{2 π}{3} < θ < π$ である。問題文の $α$ を $sin α = \frac{1}{2 2}, 0 < α < \frac{π}{2}$ で定めると、この場合の範囲は $\frac{2 π}{3} < θ ≦ π - α$ である。

以上を合わせると $\frac{π}{3} < θ ≦ π - α$ である。

九州大学 2005年度理系数学 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

九州大学 2005年度
理系数学第4問