九州大学 2005年度理系数学第1問解答・解説

問題

直線 $l : y = x + a$ が曲線 $C : y = 2 sin x$ $(- π ≦ x ≦ π)$ に接しているとき，次の問いに答えよ．ただし， $a ≧ 0$ とする．

(1) $a$ の値を求めよ．

(2) 曲線 $C$ と直線 $l$ で囲まれた図形の $y ≧ 0$ の範囲にある部分を， $x$ 軸のまわりに回転する．この回転体の体積を求めよ．

出典：九州大学 2005年度前期日程第2次学力試験理系第1問

方針

(1) は接点の $x$ 座標を $t$ として、曲線 $y = 2 sin x$ の接線の傾き $2 cos t$ が直線の傾き $1$ に等しいことを使う。 $a ≧ 0$ により接点は $t = π /3$ に決まる。(2) は $y ≧ 0$ の部分だけを回転するため、直線が $x$ 軸と交わる $x = - a$ 、曲線が $x$ 軸と交わる $x = 0$ 、接点 $x = π /3$ で区間を分ける。 $[- a, 0]$ では円板、 $[0, π /3]$ では直線を外側、曲線を内側とする輪切りで体積を積分する。

解答

(1)

接点の $x$ 座標を $t$ とする。曲線 $C : y = 2 sin x$ の接線の傾きは $2 cos t$ である。一方、直線 $l : y = x + a$ の傾きは $1$ なので、接線条件から $2 cos t = 1$ である。したがって $cos t = \frac{1}{2}$ であり、 $- π ≦ t ≦ π$ より $t = \pm \frac{π}{3}$ である。

接線の式は $y = 2 sin t + 1 \cdot (x - t) = x + 2 sin t - t$ である。これが $y = x + a$ と一致するので $a = 2 sin t - t$ である。 $t = π /3$ のとき $a = 3 - \frac{π}{3} > 0$ であり、 $t = - π /3$ のとき $a = - 3 + \frac{π}{3} < 0$ である。条件 $a ≧ 0$ より $a = 3 - \frac{π}{3}$ である。

(2)

以後 $a = 3 - \frac{π}{3}$ とする。直線 $y = x + a$ は $x = - a$ で $x$ 軸と交わり、曲線 $y = 2 sin x$ は $x = 0$ で $x$ 軸と交わる。また接点は $x = π /3$ である。 $y ≧ 0$ の部分だけを考えると、 $- a ≦ x ≦ 0$ では直線と $x$ 軸に挟まれた部分を回転するので、断面は半径 $x + a$ の円である。 $0 ≦ x ≦ π /3$ では直線が曲線より上にあり、断面は外半径 $x + a$ 、内半径 $2 sin x$ の輪である。したがって体積 $V$ は

V = π \int_{- a}^{0} (x + a)^{2} d x + π \int_{0}^{π /3} {(x + a)^{2} - 4 sin^{2} x} d x

である。

2つの $(x + a)^{2}$ の積分をまとめると

\int_{- a}^{π /3} (x + a)^{2} d x = [\frac{( x + a ) ^{3}}{3}]_{- a}^{π /3} = \frac{( a + π /3 ) ^{3}}{3}

である。ここで $a + π /3 = 3$ なので、これは $\frac{( 3 ) ^{3}}{3} = 3$ である。また

\int_{0}^{π /3} 4 sin^{2} x d x = \int_{0}^{π /3} 2 (1 - cos 2 x) d x = [2 x - sin 2 x]_{0}^{π /3} = \frac{2 π}{3} - \frac{3}{2}

である。よって

V = π {3 - (\frac{2 π}{3} - \frac{3}{2})} = π (\frac{3 3}{2} - \frac{2 π}{3}) = \frac{π ( 9 3 - 4 π )}{6} .

したがって求める体積は $\frac{π ( 9 3 - 4 π )}{6}$ である。

九州大学 2005年度理系数学 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

九州大学 2005年度
理系数学第1問