九州大学 2005年度理系数学第2問解答・解説

問題

行列 $A$ と列ベクトル $a$ ， $b$ を $A = \frac{1}{2} (1011)$ ， $a = (10)$ ， $b = (01)$ とし，列ベクトル $p_{n}$ $(n = 1, 2, \dots)$ を $p_{1} = a$ ， $p_{n + 1} = A p_{n} + b$ $(n = 1, 2, \dots)$ で定める．このとき次の問いに答えよ．

(1) $p = A p + b$ を満たす列ベクトル $p$ を求めよ．

(2) $q_{n} = p_{n} - p$ $(n = 1, 2, \dots)$ とおく． $q_{n + 1}$ と $q_{n}$ の間に成り立つ関係式を求めよ．

(3) $n = 1, 2, \dots$ に対して $A^{n}$ を求めよ．

(4) $p_{n}$ $(n = 1, 2, \dots)$ を求めよ．

出典：九州大学 2005年度前期日程第2次学力試験理系第2問

方針

まず固定点 $p = A p + b$ を求める。 $q_{n} = p_{n} - p$ と差を取ると、非同次漸化式が $q_{n + 1} = A q_{n}$ という同次形になる。 $A^{n}$ は上三角行列の累乗で、右上成分が積ごとに1ずつ増えることを帰納法で示す。最後に $p_{n} = p + A^{n - 1} q_{1}$ に代入して成分を整理する。

解答

(1)

p = (x y)

とおく。条件 $p = A p + b$ は

(x y) = \frac{1}{2} (1011) (x y) + (01)

である。成分で書くと

⎩ ⎨ ⎧ x = \frac{x + y}{2}, y = \frac{y}{2} + 1

である。第2式より $y = 2$ 、これを第1式に代入して $x = \frac{x + 2}{2}$ となるから $x = 2$ である。したがって

p = (22)

である。

(2)

$q_{n} = p_{n} - p$ であるから、

q_{n + 1} = p_{n + 1} - p = (A p_{n} + b) - (A p + b) = A (p_{n} - p) = A q_{n}

である。したがって $q_{n + 1} = A q_{n}$ が成り立つ。

(3)

A = \frac{1}{2} (1011)

である。まず $n = 1$ では

A = \frac{1}{2 ^{1}} (1011)

なので成り立つ。ある $n$ で

A^{n} = \frac{1}{2 ^{n}} (10 n 1)

が成り立つと仮定すると、

A^{n + 1} = A^{n} A = \frac{1}{2 ^{n}} (10 n 1) \cdot \frac{1}{2} (1011) = \frac{1}{2 ^{n + 1}} (10 n + 1 1)

である。よって数学的帰納法により

A^{n} = \frac{1}{2 ^{n}} (10 n 1)

である。

(4)

(1) より

p = (22)

であり、 $p_{1} = (10)$ だから

q_{1} = p_{1} - p = (- 1 - 2)

である。(2) より $q_{n} = A^{n - 1} q_{1}$ なので、(3) を用いて

q_{n} = \frac{1}{2 ^{n - 1}} (10 n - 1 1) (- 1 - 2) = \frac{1}{2 ^{n - 1}} (- (2 n - 1) - 2)

である。したがって

p_{n} = p + q_{n} = 2 - \frac{2 n - 1}{2 ^{n - 1}} 2 - \frac{2}{2 ^{n - 1}}

である。

別解。(4) は成分の漸化式からも求められる。 $p_{n} = (x_{n} y_{n})$ とすると $y_{n + 1} = \frac{1}{2} y_{n} + 1, y_{1} = 0$ であるから $y_{n} = 2 - \frac{2}{2 ^{n - 1}}$ である。また $x_{n + 1} = \frac{1}{2} x_{n} + \frac{1}{2} y_{n}, x_{1} = 1$ にこの $y_{n}$ を代入して整理すると、同じく $x_{n} = 2 - \frac{2 n - 1}{2 ^{n - 1}}$ を得る。固定点を引く主解の方が、2成分を同時に処理できて短い。

九州大学 2005年度理系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

(4)

九州大学 2005年度
理系数学第2問