問題
1つのさいころを4回投げて，出た目の数を順に，，，とする．このとき次の問いに答えよ．
(1) となる確率を求めよ．
(2) となる確率を求めよ．
(3) かつとなる確率を求めよ．
(4) となる最小の自然数の期待値を求めよ．ただし，のときはと定める．
方針
(1),(2) は異なる目を小さい順に選べばよく、増加列の個数を組合せで数える。(3) は と固定し、 と の選び方を掛けて総和を取る。(4) は最初に増加が止まる位置の期待値である。直接分布を作るより、 を使うと、必要なのは「最初の何項まで strictly increasing か」の確率だけになる。
解答
(1)
は全部で 通りある。 となるには、 から までの目から異なる2つを選び、小さい方を 、大きい方を とすればよい。したがって有利な場合は 通りである。よって求める確率は である。
(2)
同様に、 となる列は、 から までの目から異なる3つを選べば小さい順にただ1通りに並ぶ。したがって有利な場合は 通りである。全部で 通りなので、求める確率は である。
(3)
と固定する。条件 より、 は の 通りである。また条件 より、 は の 通りである。したがって、 について有利な場合は 通りである。 は条件に関係しないので、確率は だけで数えてよく、 である。
(4)
確率変数を とする。正の整数値をとる確率変数について が成り立つ。ここで は常に成り立つので である。また は、1回目では増加が止まらないこと、すなわち と同値である。したがって (1) より である。
同様に、 は と同値であるから、(2) より である。さらに となるのは、定義より の場合である。この場合の数は 通りなので、 である。
よって
別解。(4) は の分布を直接作ってもよい。まず である。次に は かつ なので、(3) より である。 は かつ であり、 とすると は 通り、 は 通りだから、
である。最後に である。したがって
となる。