問題
を正の実数とし，点と曲線 を考える．曲線上の点で，点との距離が最小となるものをとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1) 点の座標と線分の長さを求めよ．
(2) 曲線と軸，および線分で囲まれる図形の面積を求めよ．
(3) のとき，面積の最小値を求めよ．また，そのときのの値を求めよ．
出典：九州大学 2005年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第1問
方針
(1) は曲線上の点を と置き、距離の2乗を の2次式として最小化する。最小点が であることを確認すれば、 から が決まる。(2) は と を結ぶ直線の式を求め、 で直線が放物線の上にあることを確認して差を積分する。(3) は の最小化であり、微分または相加相乗平均で等号条件まで出す。
解答
(1)
曲線 上の点を とおく。点 との距離の2乗を とすると、 である。ここで とおくと、 である。この右辺を とすると である。 だから、 は で減少し、 で増加する。したがって最小となるのは のときである。 より であり、 となる。
このとき である。したがって である。
(2)
直線 の傾きは である。よって直線 の式は である。 において、この直線と放物線の差は であり、端点 では 、その間では正である。したがって求める面積は
(3)
である。相加相乗平均より
である。等号が成り立つのは すなわち のときである。したがって、最小値は であり、そのとき である。
別解。 の位置は、最短距離の線分 が曲線の接線に垂直になることからも求められる。曲線 の における接線の傾きは であり、 と を結ぶ直線の傾きは である。垂直条件より となる。整理すると であり、 を得る。 より なので、やはり である。