問題
を実数とするとき，2次方程式について，次の問いに答えよ．
(1) この2次方程式が異なる2つの虚数解をもつようなの範囲と，そのときの虚数解をすべて求めよ．
(2) (1)の虚数解のうち，その虚部が正のものをで表す．が(1)で求めた範囲を動くとき，複素数平面上で点が描く図形を求め，図示せよ．
(3) 複素数平面上で，点が(2)の図形上を動くとき，で表される点が描く図形を求め，図示せよ．
方針
(1) は判別式が負になる条件で の範囲を決め、解の公式で虚数解を表す。(2) は虚部が正の解を と置き、 から を消去する。 により上半円の端点が除かれることまで確認する。(3) は が単位円の上半分を動くことを利用し、 と置いて の実部・虚部を求める。端点を含まないことも変換後に追跡する。
解答
(1)
2次方程式 の判別式は である。異なる2つの虚数解をもつための条件は であるから、 である。このとき解の公式より、虚数解は である。
(2)
虚部が正の解を とおくと、(1) より である。したがって であり、
また なので であり、端点 、 は含まれない。よって は で表される。すなわち、中心 、半径 の円の上半分で、端点を除いた部分である。
(3)
(2) より、 上では が単位円の上半分を動く。そこで とおく。このとき であるから、
とおくと である。したがって であり、 より である。また は含まれないので、端点 、 は含まれない。
よって求める図形は で表される。すなわち、中心 、半径 の円の左半分で、端点 を除いた部分である。
別解。(3) は逆に を で表しても求められる。 より である。すると となる。 は絶対値 で虚部が正の単位円上にあるので、まず より を得る。 とすれば である。さらに主解の対応、または から、動く部分は左半分で端点を除いた弧である。