九州大学 2005年度
文系数学 第3問
- 試験区分
- 前期日程 第2次学力試験
- 対象
- 文系
- 分野
- 指数・対数、三角関数、方程式・不等式
- 解法
- 絶対値の処理、場合分け、範囲評価
- 難易度
- 5 / 10 計算量 5 / 10 目安 15分
問題
実数xに対して，[x]はxを超えない最大の整数を表す．例えば，[23]=1，[2]=2である．このとき，0∘<θ<180∘として次の問いに答えよ．ただし，必要ならsinα=221となる角α (0∘<α<90∘)を用いてよい．
(1) 不等式log2[25+cosθ]≦1を満たすθの範囲を求めよ．
(2) 不等式[23+log2sinθ]≧1を満たすθの範囲を求めよ．
(3) 不等式log2[25+cosθ]≦0≦[23+log2sinθ]を満たすθの範囲を求めよ．
出典：九州大学 2005年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第3問
方針
床関数の中身がどの整数区間に入るかを、まず実数不等式に直す。(1) では [5/2+cosθ]≦2、(2) では [3/2+log2sinθ]≧1 を使う。(3) は左側が 0 以下、右側が 0 以上という2条件なので、左は床関数の値が 1 になる範囲、右は sinθ の下限として処理し、最後に共通範囲を取る。
解答
(1)
0∘<θ<180∘ では −1<cosθ<1 であるから、23<25+cosθ<27 である。したがって [25+cosθ] が取り得る値は 1,2,3 である。 log2[25+cosθ]≦1 は [25+cosθ]≦2 と同値である。これは 25+cosθ<3 すなわち cosθ<21 と同値である。よって 60∘<θ<180∘ である。
(2)
床関数について、[X]≧1 は X≧1 と同値である。したがって [23+log2sinθ]≧1 は 23+log2sinθ≧1 と同値である。すなわち log2sinθ≧−21 であり、底 2 は 1 より大きいから sinθ≧2−1/2=21 である。0∘<θ<180∘ より、求める範囲は 45∘≦θ≦135∘ である。
(3)
左側の条件 log2[25+cosθ]≦0 を考える。[25+cosθ] は正の整数であるから、これは [25+cosθ]≦1 と同値である。取り得る値を考えると、実際には [25+cosθ]=1 である。よって 25+cosθ<2 すなわち cosθ<−21 である。したがって 120∘<θ<180∘ である。
次に右側の条件 0≦[23+log2sinθ] を考える。[X]≧0 は X≧0 と同値であるから、23+log2sinθ≧0 である。すなわち log2sinθ≧−23 であり、sinθ≧2−3/2=221 となる。
問題文の α を sinα=221,0∘<α<90∘ で定めると、0∘<θ<180∘ において sinθ≧221 となる範囲は α≦θ≦180∘−α である。これと 120∘<θ<180∘ の共通範囲を取ると、求める範囲は 120∘<θ≦180∘−α である。
