九州大学 2004年度
後期・理系数学 後期 第4問
- 試験区分
- 後期日程 第2次学力試験
- 対象
- 理系
- 分野
- 数列、方程式・不等式
- 解法
- 漸化式の変形、和の計算、場合分け
- 難易度
- 6 / 10 計算量 6 / 10 目安 20〜25分
問題
初項a1=1と漸化式
an=2an−1+n−3(n=2,3,⋯⋯)
によって与えられる数列{an}について次の問いに答えよ．
(1) 一般項anを求めよ．
(2) {an}の第k項から第2k項までの(k+1)個の項の和Pkを求めよ．
(3) 整数k>1を選んだとき，2k−1−ak≦25かつ22k−2k−1−Pk≧25が成立しないkの範囲を示せ．
出典：九州大学 2004年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第4問
方針
一次漸化式は、まず an+n−1 のように線形部分を消す形を探すか、候補 an=2n−1−n+1 を帰納法で確認する。(2)は一般項を 2n−1 と −n+1 に分け、等比数列の和と等差数列の和を計算する。(3)では2つの不等式をそれぞれ k の条件に直し、同時に成立する範囲 4≦k≦26 を求めてから、その補集合を「成立しない」範囲として答える。
解答
(1)
漸化式 an=2an−1+n−3 から一般項を求める。まず答えの形として an=2n−1−n+1 を示す。 n=1 のとき、右辺は 20−1+1=1 であり、a1=1 と一致する。
ある n−1 で an−1=2n−2−(n−1)+1=2n−2−n+2 が成り立つとする。このとき
an=2an−1+n−3=2(2n−2−n+2)+n−3=2n−1−2n+4+n−3=2n−1−n+1.
したがってすべての自然数 n について an=2n−1−n+1 である。
(2)
Pk=∑n=k2kan=∑n=k2k(2n−1−n+1) である。まず等比数列の和は ∑n=k2k2n−1=2k−1+2k+⋯+22k−1=22k−2k−1 である。
また、k から 2k までの項数は k+1 個なので ∑n=k2kn=2(k+2k)(k+1)=23k(k+1) である。したがって
Pk=(22k−2k−1)−23k(k+1)+(k+1)=22k−2k−1−23k2+k+1
である。
(3)
(1)より 2k−1−ak=2k−1−(2k−1−k+1)=k−1 である。したがって 2k−1−ak≦25 は k−1≦25 すなわち k≦26 と同値である。
また(2)より 22k−2k−1−Pk=23k2+k−1 である。したがって 22k−2k−1−Pk≧25 は 23k2+k−1≧25 すなわち 3k2+k−52≧0 と同値である。左辺は 3k2+k−52=(k−4)(3k+13) である。k>1 では 3k+13>0 なので、この条件は k≧4 となる。
よって2つの不等式が同時に成立する整数 k>1 は 4≦k≦26 である。したがって、2つの不等式が同時には成立しない整数 k>1 の範囲は 2≦k≦3,27≦k である。
