九州大学 2004年度後期・理系数学後期第2問解答・解説

問題

連立不等式 $0 ≦ x ≦ 6$ ， $0 ≦ y ≦ 4$ の表す領域を $D$ とし，連立不等式 $0 ≦ x ≦ 6$ ， $4 < y ≦ 7$ の表す領域を $E$ とする． $0 ≦ t ≦ 6$ として，点 $P$ が $O (0, 0)$ ， $A (t, 4)$ ， $B (6, 7)$ を結ぶ折れ線 $O A B$ 上を $O$ から $B$ まで移動している．ただし，領域 $D$ 内では一定の速さ $u$ で動き，領域 $E$ 内では一定の速さ $v$ で動くものとする $(u > 0, v > 0)$ ．また，直線 $O A$ と直線 $x = 0$ がなす角を $α$ ，直線 $A B$ と直線 $x = 6$ がなす角を $β$ とする $(0 ≦ α ≦ \frac{π}{2}, 0 ≦ β ≦ \frac{π}{2})$ ．このとき，次の問いに答えよ．

(1) 点 $P$ が $O$ から $B$ まで移動するのに要する時間を $f (t)$ とする． $f (t)$ を $t$ の式で表せ．さらに， $f (t)$ が区間 $0 < t < 6$ において最小値をもつことを証明せよ．

(2) 点 $A$ が所要時間を最小にする位置にあるとき

\frac{sin α}{u} = \frac{sin β}{v}

が成り立つことを示せ．

(3) 点 $A$ が所要時間を最小にする位置にあり，かつ $β = 2 α$ が成立するとき， $\frac{u}{v}$ の値を求めよ．

出典：九州大学 2004年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第2問

方針

所要時間は、領域 $D$ 内の線分 $O A$ の長さを速さ $u$ で割ったものと、領域 $E$ 内の線分 $A B$ の長さを速さ $v$ で割ったものの和である。 $f (t)$ を微分し、端点近くで減少・増加することから最小点が $0 < t < 6$ にあることを示す。最小点では $f^{'} (t) = 0$ となり、これを垂直線となす角の正弦 $sin α = t / O A$ , $sin β = (6 - t) / A B$ に読み替える。最後は $tan α = t /4$ , $tan β = (6 - t) /3$ と $β = 2 α$ から $tan α$ を決める。

解答

(1)

$O A = t^{2} + 4^{2} = t^{2} + 16$ であり、 $A B = (6 - t)^{2} + (7 - 4)^{2} = (6 - t)^{2} + 9$ である。領域 $D$ 内では速さ $u$ 、領域 $E$ 内では速さ $v$ で動くので、所要時間は $f (t) = \frac{t ^{2} + 16}{u} + \frac{( 6 - t ) ^{2} + 9}{v}$ である。 $0 < t < 6$ で微分すると $f^{'} (t) = \frac{t}{u t ^{2} + 16} - \frac{6 - t}{v ( 6 - t ) ^{2} + 9}$ である。端点での片側の様子を見ると $f^{'} (0) = - \frac{6}{v 45} < 0, f^{'} (6) = \frac{6}{u 52} > 0$ である。したがって $t = 0$ の近くでは右へ動かすと $f (t)$ は小さくなり、 $t = 6$ の近くでは左へ動かすと $f (t)$ は小さくなる。連続関数 $f (t)$ は閉区間 $[0, 6]$ で最小値をもつが、その最小値は端点ではなく、区間 $0 < t < 6$ の内部で与えられる。

(2)

最小値を与える点を $0 < t < 6$ とする。この点では $f^{'} (t) = 0$ であるから、 $\frac{t}{u t ^{2} + 16} = \frac{6 - t}{v ( 6 - t ) ^{2} + 9}$ が成り立つ。

角 $α$ は直線 $O A$ と縦の直線 $x = 0$ がなす角である。 $O A$ の長さは $t^{2} + 16$ で、縦方向の成分は4、横方向の成分は $t$ なので $sin α = \frac{t}{t ^{2} + 16}$ である。

同様に、角 $β$ は直線 $A B$ と縦の直線 $x = 6$ がなす角である。 $A B$ の長さは $(6 - t)^{2} + 9$ で、横方向の成分は $6 - t$ なので $sin β = \frac{6 - t}{( 6 - t ) ^{2} + 9}$ である。

これらを $f^{'} (t) = 0$ の式に代入すると $\frac{s i n α}{u} = \frac{s i n β}{v}$ が得られる。

(3)

$tan α$ と $tan β$ を $t$ で表す。角は縦の直線となす角なので $tan α = \frac{t}{4}, tan β = \frac{6 - t}{3}$ である。 $s = tan α$ とおくと $t = 4 s$ である。また $β = 2 α$ より $tan β = tan 2 α = \frac{2 s}{1 - s ^{2}}$ である。したがって $\frac{6 - 4 s}{3} = \frac{2 s}{1 - s ^{2}}$ を得る。整理すると $(6 - 4 s) (1 - s^{2}) = 6 s$ すなわち $2 s^{3} - 3 s^{2} - 5 s + 3 = 0$ である。これは $(s - \frac{1}{2}) (2 s^{2} - 2 s - 6) = 0$ と因数分解できる。 $0 ≦ β = 2 α ≦ \frac{π}{2}$ なので $0 ≦ α ≦ \frac{π}{4}$ 、したがって $0 ≦ s ≦ 1$ である。この範囲に入る解は $s = \frac{1}{2}$ だけである。よって $tan α = \frac{1}{2}, cos α = \frac{2}{5}$ である。

(2)より $\frac{s i n α}{u} = \frac{s i n 2 α}{v}$ であり、したがって

\frac{u}{v} = \frac{sin α}{sin 2 α} = \frac{sin α}{2 sin α cos α} = \frac{1}{2 cos α} = \frac{5}{4}

である。

九州大学 2004年度後期・理系数学 後期 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

九州大学 2004年度
後期・理系数学後期第2問