九州大学 2004年度
後期・理系数学 後期 第1問

解答

(1)

投げる回数を $X$ とする。$X$ の期待値は $E(X)={\sum }_{k=1}^{n}P(X\geqq k)$ で求められる。ここで $X\geqq k$ とは、第 $k$ 回を実際に投げるということである。

第 $k$ 回を投げるためには、第1回から第 $k-1$ 回までに1の目が出ていなければよい。したがって $P(X\geqq k)={\left(\frac{5}{6}\right)}^{k-1}$ である。よって

である。

(2)

投げる回数を $Y$ とする。同様に $E(Y)={\sum }_{k=1}^{n}P(Y\geqq k)$ である。

第 $k$ 回を投げるためには、第1回から第 $k-1$ 回までに出た1の目の回数が0回または1回であればよい。$q=\frac{5}{6}$ とおくと、$k-1$ 回のうち1が0回である確率は $q^{k-1}$ であり、1がちょうど1回である確率は $(k-1)\cdot \frac{1}{6}{q}^{k-2}$ である。ただし $k=1$ のとき後者は0と考えればよい。

したがって、$j=k-1$ と置き換えると $E(Y)={\sum }_{j=0}^{n-1}\left\{q^j+j\cdot \frac{1}{6}{q}^{j-1}\right\}$ である。

まず ${\sum }_{j=0}^{n-1}{q}^j=\frac{1-q^n}{1-q}=6(1-q^n)$ である。また、有限等比和の公式から ${\sum }_{j=1}^{n-1}j{q}^{j-1}=\frac{1-n{q}^{n-1}+(n-1)q^n}{(1-q{)}^2}$ である。$1-q=1/6$ だから $\frac{1}{6}{\sum }_{j=1}^{n-1}j{q}^{j-1}=6\{1-n{q}^{n-1}+(n-1)q^n\}$ となる。

よって

$q=\frac{5}{6}$ を戻して $E(Y)=12-6n{\left(\frac{5}{6}\right)}^{n-1}+6(n-2){\left(\frac{5}{6}\right)}^n$ である。