九州大学 2004年度後期・理系数学後期第3問解答・解説

問題

曲線 $C : y = \frac{1}{x}$ $(x > 0)$ と直線 $l : y = - x + \frac{5}{2}$ について次の問いに答えよ．

(1) $C$ 上の点 $P (p, \frac{1}{p})$ から $l$ に下ろした垂線が $l$ と交わる点を $Q$ とする．線分 $P Q$ の長さを $p$ を用いて表せ．

(2) $C$ と $l$ によって囲まれた図形を $l$ のまわりに1回転して得られる回転体の体積を求めよ．

出典：九州大学 2004年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第3問

方針

(1)は直線 $x + y - 5/2 = 0$ と点 $(p, 1/ p)$ の距離公式で求める。(2)では交点 $x = 1/2, 2$ を出し、領域内で直線が曲線より上にあることを確認する。斜めの直線を軸に回転するため、縦の円板ではなく、各点が回転して作る薄い輪の体積 $2 π \times 軸からの距離 \times d A$ を積分する。軸からの距離は $(5/2 - x - y) / 2$ であり、内側の $y$ 積分は高さの2乗にまとまる。

解答

(1)

直線 $l$ は $y = - x + \frac{5}{2}$ すなわち $x + y - \frac{5}{2} = 0$ である。点 $P (p, \frac{1}{p})$ からこの直線までの距離が $P Q$ であるから、点と直線の距離公式より

P Q = \frac{p + \frac{1}{p} - \frac{5}{2}}{1 ^{2} + 1 ^{2}} = \frac{p + \frac{1}{p} - \frac{5}{2}}{2}

である。

(2)

まず交点を求める。曲線 $C$ と直線 $l$ の交点では $\frac{1}{x} = - x + \frac{5}{2}$ である。 $x > 0$ なので両辺に $x$ を掛けると $1 = - x^{2} + \frac{5}{2} x$ すなわち $2 x^{2} - 5 x + 2 = 0$ である。よって $(2 x - 1) (x - 2) = 0$ となり、交点の $x$ 座標は $x = \frac{1}{2}, x = 2$ である。 $\frac{1}{2} < x < 2$ では、例えば $x = 1$ で $- x + \frac{5}{2} = \frac{3}{2}, \frac{1}{x} = 1$ なので、直線 $l$ が曲線 $C$ より上にある。したがって囲まれた領域は $\frac{1}{2} ≦ x ≦ 2, \frac{1}{x} ≦ y ≦ - x + \frac{5}{2}$ である。

領域内の点 $(x, y)$ から軸 $l$ までの距離は $r = \frac{\frac{5}{2} - x - y}{2}$ である。面積の小片 $d A$ を軸 $l$ のまわりに回転すると、半径 $r$ の薄い輪を作るので、その体積は $2 π r d A$ と考えられる。よって体積 $V$ は

V = 2 π \int_{1/2}^{2} \int_{1/ x}^{- x + 5/2} \frac{\frac{5}{2} - x - y}{2} d y d x

である。

内側を計算する。 $H = - x + \frac{5}{2} - \frac{1}{x}$ とおくと、 $y = 1/ x$ から直線までの縦方向の差が $H$ であり、

\int_{1/ x}^{- x + 5/2} (\frac{5}{2} - x - y) d y = \frac{1}{2} (- x + \frac{5}{2} - \frac{1}{x})^{2} = \frac{1}{2} H^{2}

である。したがって

V = \frac{π}{2} \int_{1/2}^{2} (- x + \frac{5}{2} - \frac{1}{x})^{2} d x

である。

ここで

(- x + \frac{5}{2} - \frac{1}{x})^{2} = x^{2} - 5 x + \frac{33}{4} - \frac{5}{x} + \frac{1}{x ^{2}}

なので、

\int_{1/2}^{2} (- x + \frac{5}{2} - \frac{1}{x})^{2} d x = [\frac{x ^{3}}{3} - \frac{5}{2} x^{2} + \frac{33}{4} x - 5 lo g x - \frac{1}{x}]_{1/2}^{2} = \frac{57}{8} - 10 lo g 2.

よって

V = \frac{π}{2} (\frac{57}{8} - 10 lo g 2) = 2 π (\frac{57}{16} - 5 lo g 2)

である。

九州大学 2004年度後期・理系数学 後期 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

九州大学 2004年度
後期・理系数学後期第3問