問題
スイッチを入れると等確率で赤色または青色に輝く電球が横一列に6個並んでいる．これらの6個の電球のスイッチを同時に入れたあと，左から電球の色を見ていき，色の変化の回数を調べる．
(1) 赤青青青青青，赤赤青青青青，のように左端が赤色で色の変化がちょうど1回起きる確率を求めよ．
(2) 色の変化が少なくとも2回起きる確率を求めよ．
(3) 色の変化がちょうど回起きる確率を求めよ．
(4) 色の変化の回数の期待値を求めよ．
方針
6個の色そのものを直接並べるのではなく、隣り合う電球の間にある5か所の「境目」が変化するかどうかで数える。左端の色を決め、変化する境目の集合を決めれば全体の色の並びは一意に決まる。したがって、ちょうど 回の変化は5か所から か所を選ぶ問題になる。期待値は各境目で色が変わるかを表す量の和として考えると、独立性を細かく調べずに求められる。
解答
(1)
左端が赤色で、色の変化がちょうど1回起きるとする。このとき変化する境目は、1番目と2番目の間、2番目と3番目の間、、5番目と6番目の間の5通りである。
左端の色を赤に固定し、変化する境目を1つ決めると、そこまでは赤、その後は青となり、並びは一意に決まる。したがって該当する並びは5通りである。全体の並びは 通りなので、求める確率は である。
(2)
「少なくとも2回」の余事象は、色の変化が0回または1回である。
色の変化が0回の並びは の2通りである。
色の変化が1回の並びは、左端の色が2通り、変化する境目が5通りなので 通りである。したがって、変化が0回または1回である並びは 通りである。
よって、色の変化が少なくとも2回起きる確率は である。
(3)
隣り合う電球の境目は5か所ある。色の変化がちょうど 回起きるとは、その5か所のうちちょうど か所で色が変わることである。
変化する境目の選び方は 通りであり、左端の色は赤または青の2通りである。左端の色と変化する境目が決まれば、右へ順に色が一意に決まる。したがって該当する並びは 通りである。
全体は 通りなので、求める確率は
である。
(4)
5か所の境目を左から順に見て、 番目の境目で色が変わるとき 、変わらないとき とする。色の変化の回数を とすれば である。
各境目について、左側と右側の2個の色の組は の4通りが等確率であり、このうち色が変わるのは2通りである。したがって である。よって である。
別解。(3)の分布を使ってもよい。期待値は
である。恒等式 を用いると
となる。