問題
2つの関数 ，が与えられていて，放物線が2点，を通るとする．
(1) の値を求めよ．
(2) との交点をすべて求めよ．
(3) (2)で求めた交点のうち，座標が最小となる点をとする．このとき，点におけるの接線を求めよ．また，この接線との，点とは異なる，交点を求めよ．
(4) 次の連立不等式の定める図形の面積を求めよ．
方針
放物線が2つの切片を通る条件からまず係数を確定する。交点では絶対値を含むため、必ず と に分けて を解く。接線は左側の交点 での傾きから求め、もう一つの交点 は接線と の右側の枝との交点になる。面積では上側が接線 、下側が と の大きい方であり、 で下側が から に切り替わることを確認して積分を分ける。
解答
(1)
放物線 が を通るから、 である。したがって である。点 についても なので同じ条件を満たす。
(2)
以後 である。交点は を満たす点である。
まず のとき だから すなわち である。よって となり、 に合う解は である。このとき である。
次に のとき だから すなわち である。よって となり、 に合う解は である。このとき である。
したがって交点は である。
(3)
座標が最小の交点は である。 だから、点 における接線の傾きは である。よって接線 は すなわち である。
次に を解く。 では より となり、これは点 である。 では より したがって である。このとき なので、点 とは異なる交点は である。
(4)
求める図形は の範囲で、上側が 、下側が と のうち大きい方である。
(2)より は で起こる。例えば では であるから、 では である。一方、 では である。
したがって面積 は である。まず
だから
である。また では なので であり、
である。よって である。