問題
，とする．平行四辺形の辺をに内分する点をとし，辺をに内分する点をとする．また，線分と平行四辺形の対角線の交点をとする．，として次の問いに答えよ．
(1) ベクトルとを，を用いて表せ．
(2) 長さの比およびを求めよ．
(3) ，，とするとき，の面積を求めよ．
出典：九州大学 2004年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第3問
方針
平行四辺形の頂点を を基準に の係数で表す。 と の位置ベクトルを出した後、交点 を一方では 上の点 、他方では と表して係数比較する。 は を、 は をそのまま与える。面積は の作る平行四辺形の面積 に、係数の行列式から出る倍率を掛ける。
解答
(1)
を基準に考えると である。
点 は辺 を に内分するから、 から へ だけ進んだ点である。よって である。
また点 は辺 を に内分するから、 から へ だけ進んだ点である。したがって である。
(2)
は対角線 上にあるので、ある実数 を用いて と書ける。また は線分 上にあるので、ある実数 を用いて
と書ける。この は を表す。
(1)を代入すると
一方で だから、係数比較により である。これらを等しくして を得る。よって したがって であり、 である。
また
である。よって である。
(3)
, , なので、 の作る平行四辺形の面積は である。 と の係数はそれぞれ である。したがって、 の面積は
である。ここで かつ であるから絶対値はこの形で外せる。
(2)で求めた を代入して
である。