問題
複素数平面上に複素数 をとり，，とおく．
(1) を示せ．
(2) を示せ．ただし，とする．
(3) とする．9つの複素数 の虚部の最小値を求め，その最小値を与えるのすべてを決定せよ．
出典：九州大学 2004年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第2問
方針
は単位円上の点なので、 と を半角の極形式で表すのが中心である。 を でくくると、長さと偏角が同時に読める。 では と の絶対値・偏角を先に固定し、 の絶対値 と偏角 度から9通りの虚部を表で比較する。
解答
(1)
であるから、
半角公式 を用いると である。 より なので である。したがって である。
(2)
と書けるので、
ここで
であるから、
(1)より係数 は正であり、また である。したがって指定された範囲 で である。
(3)
とする。まず
であるから、 である。また(1),(2)より である。
よって
である。虚部は で求められる。9通りを並べると
である。したがって虚部の最小値は であり、その最小値を与える組は である。