問題
関数は区間において連続でをみたす．このとき次の問いに答えよ．
(1) のグラフと直線は共有点を持つことを証明せよ．
(2) が微分可能でをみたすならば，
によって定義される数列はのとき収束することを証明せよ．
出典：九州大学 2003年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第4問
方針
(1) は を作り、中間値の定理を使う。(2) はまず固定点が一意であることを平均値の定理で示し、その固定点 からの距離を評価する。 により距離が毎回高々半分になるので、数列は に収束する。
解答
(1)
とおく。 は連続なので も で連続である。また より であり、 より である。
もし または なら、その点が共有点である。そうでなければ 、 なので、中間値の定理よりある が存在して となる。したがって であり、 と は共有点をもつ。
(2)
(1) より固定点 が存在する。まず固定点が一意であることを示す。もし がともに固定点なら である。平均値の定理より、 とすると である。したがって となり、これは に反する。よって固定点は一意である。
数列 について、 だから
これを繰り返すと 右辺は で0に近づくので である。したがって数列 は収束する。