問題
次の問いに答えよ．
(1) 次の性質をもつ4次関数を求めよ．
(i) のグラフは直線に関して対称である．
(ii) 方程式はと1の間に相異なる4個の解をもつ．
(iii) の極値はすべてその絶対値が1に等しい．さらにをみたす．
(2) 次の性質をもつ3次関数を1つ求めよ．
(i) のグラフは軸と相異なる3個の共有点をもつ．
(ii) ，とおく．共有点の座標，，はをみたす．
(iii) 面積 の比がをみたす．
出典：九州大学 2003年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第2問
方針
(1) は偶関数になるように の2次式として作り、極値が になる具体例を選ぶ。(2) は3つの根を を中心に対称に置き、左右の面積が対称になる形にする。中央の面積と端の面積の比が になるように根の間隔を決め、最後に条件を順に確認する。
解答
(1)
例えば とする。これは だけで表されるので偶関数であり、グラフは直線 に関して対称である。また である。
極値を確認する。展開すると であり、 である。したがって極値をとる点は である。値は であり、極値はすべて絶対値が1である。
さらに は すなわち である。これから に相異なる4個の解が得られる。よってこの は条件を満たす。
(2)
とおき、
とする。このとき3つの零点は である。 なので が成り立つ。 とおくと であり、 に関して奇関数の形である。したがって左右対称性から である。
端の面積と中央の面積を比べる。原始関数は である。計算すると である。ここで だから であり、 である。よって となり、 である。したがってこの は条件を満たす。