問題
座標平面上の原点にある点を次のルールで移動させるゲームを考える．
(i) 赤，白，青，黄色の玉がそれぞれ1個ずつ入っている袋の中から玉を1個取り出して色を見た後で袋に戻す操作を繰り返す．
(ii) 取り出した玉が赤色であれば点を現在の座標から軸の正の方向に1だけ移動させる．玉が，白，青，黄色であれば，点をそれぞれ軸の負の方向，軸の正の方向および軸の負の方向に1だけ移動させる．
(iii) 点を1回移動させるたびに点数1を得る．ただし，点が点に到着した場合は2点加算されて点数3を得る．
(iv) 移動を4回繰り返すか，または点が点に到着したときに，ゲームは終了する．
このとき，次の問いに答えよ．
(1) 点が点に到達する確率を求めよ．
(2) ゲーム終了時の合計点数の期待値を求めよ．
方針
点 に到達できるのは偶数回目だけで、このゲームでは2回目または4回目に限られる。2回目到達と4回目に初めて到達を分けて経路数を数える。期待値は到達時刻ごとの得点を使って求めるか、移動回数の期待値と到達ボーナスに分けて計算する。
解答
(1)
1回の移動を と書く。点 に到達するには、移動回数は偶数でなければならない。このゲームは最大4回で終わるので、到達する可能性があるのは2回目または4回目である。
2回目に到達するには、 と が1回ずつ出ればよい。順序は の2通りである。したがって確率は である。
次に、4回目に初めて到達する場合を数える。4回後に にいるには、 に加えて打ち消し合う1組を入れる必要がある。余分な組は または である。
余分な組が のとき、並べる記号は であり、全体は 通りである。このうち最初の2回で が出るものはすでに2回目で到達している。最初の2回が または で、残り2つを並べる場合がそれぞれ2通りあるので、除くべきものは4通りである。よってこの型は8通りである。
余分な組が のときも同様に8通りである。したがって4回目に初めて到達する経路は 通りで、確率は である。
よって到達確率は である。
(2)
2回目に到達した場合、1回目は1点、2回目は到達により3点なので、合計は である。4回目に初めて到達した場合、最初の3回は各1点、4回目は3点なので、合計は である。到達しない場合は4回移動して各1点なので、合計は4点である。
したがって期待値は
別解。得点を「移動による基本点」と「到達時の追加2点」に分けてもよい。2回目到達のときだけ本来4回の移動が2回で終わるので、移動回数の期待値は である。到達した場合には追加点2点が入るので、追加点の期待値は である。よって となる。