問題
関数について，次の問いに答えよ．
(1) 不等式をみたす点の集合を座標平面上に図示せよ．
(2) の極値を与える座標を求めよ．
(3) の漸近線を求め，グラフの概形をかけ．
出典：九州大学 2003年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第1問
方針
有理関数なので、まず零点 と定義できない点 で符号を分ける。(2) は商の微分で導関数を求め、分母は常に正なので分子の4次式を の2次方程式として解く。(3) は割り算または部分分数分解で斜め漸近線と縦漸近線を求め、符号と極値を合わせて概形を決める。
解答
(1)
である。符号が変わる可能性がある点は である。ただし では定義されない。
符号表を作ると、 となるのは であり、 となるのは である。
不等式 は、 のとき 、 のとき を意味する。したがって図示すべき領域は
である。境界 では なので含まれず、 も定義されないので含まれない。
(2)
商の微分により
である。 では分母は正なので、極値を与える候補は を満たす点である。 とおくと だから である。どちらも正なので、極値を与える 座標は
である。
(3)
割り算すると であり、さらに である。したがって漸近線は である。
概形は、 を縦の漸近線、 を斜めの漸近線として描く。(1) の符号から 軸との交点は であり、(2) の4つの点で増減が切り替わる。これらを合わせて、有理関数の各区間 に分けてグラフを描けばよい。