九州大学 2003年度文系数学第3問(b) 解答・解説

問題

${m_{k}}$ を公比 $r$ の等比数列とする．2次関数 $y = x^{2}$ のグラフを $C$ とし， $C$ 上に点 $P_{1}$ をとる．各自然数 $k$ に対し，点 $P_{k}$ から点 $P_{k + 1}$ を順次つぎのように定める．点 $P_{k}$ を通り傾き $m_{k}$ の直線を $l_{k}$ とし，この直線と $C$ とのもう一つの交点を $P_{k + 1}$ とする．ただし， $C$ と $l_{k}$ が接する場合は $P_{k + 1} = P_{k}$ とする．点 $P_{k}$ の $x$ 座標を $a_{k}$ とする．

(1) $a_{k + 1}$ を $a_{k}$ と $m_{k}$ で表せ．

(2) 数列 ${a_{k}}$ の一般項を $a_{1}$ ， $m_{1}$ ， $r$ ， $k$ で表せ．

(3) $a_{1} = \frac{m _{1}}{1 + r}$ とする．このとき，ある2次関数 $y = b x^{2}$ があって，すべての自然数 $k$ に対し直線 $l_{k}$ がその2次関数のグラフに接することを示し， $b$ を $r$ で表せ．ただし， $m_{1} \neq = 0$ ， $r \neq = - 1, 0$ とする．

出典：九州大学 2003年度前期日程第2次学力試験文系第3問(b)

方針

直線 $l_{k}$ と放物線 $y = x^{2}$ の交点を方程式で求め、既知の根 $a_{k}$ ともう一つの根 $a_{k + 1}$ の関係を使う。得られる漸化式 $a_{k + 1} + a_{k} = m_{1} r^{k - 1}$ は、 $(- 1)^{k - 1} a_{k}$ の差を取ると和で解ける。(3) では与えられた初期条件で $a_{k} = m_{k} / (1 + r)$ となることを示し、直線 $l_{k}$ と $y = b x^{2}$ が接する条件を判別式で確認する。

解答

(1)

点 $P_{k}$ は $(a_{k}, a_{k}^{2})$ である。点 $P_{k}$ を通り傾き $m_{k}$ の直線 $l_{k}$ は $y - a_{k}^{2} = m_{k} (x - a_{k})$ である。これと $y = x^{2}$ を連立すると $x^{2} - a_{k}^{2} = m_{k} (x - a_{k})$ すなわち $(x - a_{k}) (x + a_{k} - m_{k}) = 0$ となる。したがって、もう一つの交点の $x$ 座標は $a_{k + 1} = m_{k} - a_{k}$ である。接する場合は $m_{k} = 2 a_{k}$ であり、この式からも $a_{k + 1} = a_{k}$ となる。

(2)

$m_{k} = m_{1} r^{k - 1}$ なので、(1) より $a_{k + 1} + a_{k} = m_{1} r^{k - 1}$ である。両辺に $(- 1)^{k}$ を掛けると $(- 1)^{k} a_{k + 1} - (- 1)^{k - 1} a_{k} = (- 1)^{k} m_{1} r^{k - 1}$ となる。これを $1$ から $k - 1$ まで足す。

まず $r \neq = - 1$ のとき、

(- 1)^{k - 1} a_{k} - a_{1} = j = 1 \sum k - 1 (- 1)^{j} m_{1} r^{j - 1} = - m_{1} j = 0 \sum k - 2 (- r)^{j} = - m_{1} \frac{1 - ( - r ) ^{k - 1}}{1 + r} .

したがって $a_{k} = (- 1)^{k - 1} a_{1} + \frac{m _{1} { r ^{k - 1} - ( - 1 ) ^{k - 1} }}{1 + r}$ である。

次に $r = - 1$ のときは $a_{k + 1} + a_{k} = m_{1} (- 1)^{k - 1}$ であり、同じように足すと $a_{k} = (- 1)^{k - 1} a_{1} + (k - 1) (- 1)^{k - 2} m_{1}$ である。

(3)

ここでは $r \neq = - 1, 0$ であり、 $a_{1} = \frac{m _{1}}{1 + r}$ である。(2) の $r \neq = - 1$ の式に代入すると

a_{k} = (- 1)^{k - 1} \frac{m _{1}}{1 + r} + \frac{m _{1} { r ^{k - 1} - ( - 1 ) ^{k - 1} }}{1 + r} = \frac{m _{1} r ^{k - 1}}{1 + r} = \frac{m _{k}}{1 + r} .

よって $m_{k} = (1 + r) a_{k}$ である。

このとき直線 $l_{k}$ は

y - a_{k}^{2} y = (1 + r) a_{k} (x - a_{k}) = (1 + r) a_{k} x - r a_{k}^{2}

と書ける。これが $y = b x^{2}$ に接する条件を調べる。連立して $b x^{2} - (1 + r) a_{k} x + r a_{k}^{2} = 0$ が重解をもてばよい。判別式を0にすると $(1 + r)^{2} a_{k}^{2} - 4 b r a_{k}^{2} = 0$ である。 $m_{1} \neq = 0$ 、 $r \neq = 0$ より $a_{k} \neq = 0$ なので $b = \frac{( 1 + r ) ^{2}}{4 r}$ とすればよい。

したがって $b = \frac{( 1 + r ) ^{2}}{4 r}$ について、すべての自然数 $k$ に対し直線 $l_{k}$ は $y = b x^{2}$ に接する。

九州大学 2003年度文系数学 第3問(b)

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

九州大学 2003年度
文系数学第3問(b)