問題
座標平面上で，不等式，が表す領域を，それぞれ，とする．
(1) 領域を図示せよ．
(2) 領域を図示せよ．
(3) 領域の点で，が正の整数でありが整数であって，が有理数となる点を，理由を示してすべて求めよ．
出典：九州大学 2003年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第2問
方針
領域 は を中心とするひし形として頂点を出す。領域 は を使うので、領域 を4象限に対称配置したものとして読む。(3) では が正の整数なので に限られることを先に示し、各 で取り得る を列挙して、 が有理数になる条件を素因数で判定する。
解答
(1)
領域 は で表される。中心は であり、 とおくと より が左右の頂点である。また とおくと より が上下の頂点である。したがって は頂点
をもつひし形である。
(2)
領域 は である。これは が第1象限にある領域 に入ることを意味する。したがって、(1) のひし形を4つの点 を中心として対称に置いた図形が である。
(3)
は正の整数であり、領域 の条件から である。よって だけを調べればよい。 または のときは なので である。 では のいずれも3の有理数乗で表される整数ではないので該当しない。 では のとき であり、有理数である。 のときは なので である。 が有理数になるには、 が2だけを素因数にもつ数であればよい。この範囲では である。
したがって求める点は である。