九州大学 2003年度文系数学第3問(a) 解答・解説

問題

$a$ ， $b$ ， $c$ を実数とし， $a > 0$ とする． $f (x) = a x^{2} + b x + c$ とおく．実数 $p$ に対し， $x$ の関数 $p x - f (x)$ の最大値を $g (p)$ とおく．

(1) 2つの関数 $y = f (x)$ と $y = g (x)$ が一致するとき， $f (x)$ を求めよ．

(2) 実数 $x$ に対し， $p$ の関数 $x p - g (p)$ の最大値を $h (x)$ とおく． $h (x)$ を求めよ．

(3) 直線 $y = p x + q$ が点 $(t, f (t))$ で $y = f (x)$ のグラフに接するための必要十分条件は

g (p) = pt - f (t) かつ q = - g (p)

であることを示せ．

出典：九州大学 2003年度前期日程第2次学力試験文系第3問(a)

方針

まず $p x - f (x)$ を $x$ の二次関数として平方完成し、最大値 $g (p)$ を明示する。(1) は $f (x) = g (x)$ を係数比較で解く。(2) は今度は $x p - g (p)$ を $p$ の二次関数として最大化し、元の $f (x)$ が戻ることを確認する。(3) は接線条件を、 $p x - f (x)$ の最大が $x = t$ で取られる条件と同値にする。

解答

(1)

$p x - f (x) = p x - (a x^{2} + b x + c) = - a x^{2} + (p - b) x - c$ である。 $a > 0$ なのでこれは $x$ について上に凸でない二次関数であり、最大値は $g (p) = \frac{( p - b ) ^{2}}{4 a} - c$ である。 $y = f (x)$ と $y = g (x)$ が一致するとは、すべての $x$ について $a x^{2} + b x + c = \frac{( x - b ) ^{2}}{4 a} - c$ が成り立つことである。係数を比較すると $a = \frac{1}{4 a}, b = - \frac{b}{2 a}, c = \frac{b ^{2}}{4 a} - c$ である。 $a > 0$ より $a = 1/2$ 。このとき第2式から $b = 0$ 、第3式から $c = 0$ である。よって $f (x) = \frac{1}{2} x^{2}$ である。

(2)

(1) で求めた式を用いると $x p - g (p) = x p - \frac{( p - b ) ^{2}}{4 a} + c$ である。これは $p$ について上に凸でない二次関数であり、平方完成すると

x p - g (p) = - \frac{1}{4 a} {p - (2 a x + b)}^{2} + a x^{2} + b x + c .

したがって最大値は $p = 2 a x + b$ で取られ、 $h (x) = a x^{2} + b x + c = f (x)$ である。

(3)

直線 $y = p x + q$ が点 $(t, f (t))$ で $y = f (x)$ に接することは $p = f^{'} (t) = 2 a t + b, q = f (t) - pt$ と同値である。このとき、 $p x - f (x)$ は $x = t$ で最大値をとるので $g (p) = pt - f (t)$ であり、また $q = f (t) - pt = - g (p)$ である。

逆に $g (p) = pt - f (t), q = - g (p)$ が成り立つとする。 $g (p)$ は $p x - f (x)$ の最大値であり、その最大値が $x = t$ で実現している。二次関数 $p x - f (x)$ の最大点では導関数が0だから $p - f^{'} (t) = 0$ すなわち $p = f^{'} (t)$ である。また $q = - g (p) = f (t) - pt$ なので、直線は $(t, f (t))$ を通り、傾きも $f^{'} (t)$ に等しい。したがってこの直線は点 $(t, f (t))$ でグラフに接する。

九州大学 2003年度文系数学 第3問(a)

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

九州大学 2003年度
文系数学第3問(a)