問題
四面体において，，とする．をみたしながら動く点の軌跡をとする．
(1) は球の表面（球面）であることを示せ．
(2) 四面体が正四面体であるとき，頂点は(1)での球の外部にあることを示せ．
(3) (2)の場合に，球面と辺の交点をとして，比を求めよ．
出典：九州大学 2002年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第4問
方針
条件 は と平方して扱い、平方完成で球面の中心と半径を出す。正四面体では全ての辺の長さを とし、内積 を用いて頂点 と球の中心の距離を計算する。辺 上の交点は とおき、距離比の条件を の2次方程式にする。
解答
(1)
点 の位置ベクトルを と書く。条件 は、平方して と表せる。
これを展開すると であるから となる。ここで平方完成をすると を得る。
右辺は定数であり、 だから半径は正である。したがって軌跡 は である。
(2)
正四面体の1辺の長さを とする。このとき である。
(1)の球の中心を とすると、頂点 から中心までの距離の2乗は である。これを内積で計算すると
一方、球の半径の2乗は である。したがって であり、頂点 は球の外部にある。
(3)
点 は辺 上にあるので とおく。位置ベクトルで書けば である。このとき である。
また
ここで正四面体の内積関係から である。よって となる。
球面 上の点は をみたすので である。したがって すなわち を得る。 より である。
したがって である。よって
である。