問題
を実数としとおく．
(1) 上記右辺の定積分を求めよ．
(2) がすべての実数の値をとって動くとき，を最小にするの値との最小値を求めよ．
(3) であることを用いてを示せ．さらにこの結果を利用して，区間におけるの最大値を求めよ．ただし，は自然対数を表す．
出典：九州大学 2002年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第3問
方針
絶対値の中身 の符号が変わるかどうかを、、、 に分けて積分する。最小値は得られた区分式の増減から判定する。最後は を累乗して の上下評価に直し、区間 では端点比較だけで最大値を決める。
解答
(1)
は で を動く。したがって の位置で場合分けする。
まず のとき、常に であるから
である。
次に のとき、 となる点は である。よって
最後に のとき、常に であるから
である。
以上より
である。
(2)
では だから、 が増えると は減少する。 では だから、 が増えると は増加する。
中間の では であるから である。したがって で減少し、 で増加する。よって最小は でとられ、 である。したがって である。
(3)
まず を用いて を示す。 より である。両辺の3乗根を考えると であるから を得る。
また より である。両辺の5乗根を考えると であるから を得る。よって である。
次に での最大値を求める。(2)で見た増減より、 は まで減少し、その後増加する。したがって最大値は端点 または でとられる。 である。一方、 なので である。差を取ると である。ここで 、 を用いると
となる。したがって であり、最大値は である。