問題
，を実数の定数とし，
で表される曲線をとする．この曲線と原点に関して対称な曲線を，軸に関して対称な曲線をとする．
(1) 曲線，の方程式を求めよ．
(2) 曲線との共有点が相異なる2点だけであるとき，とがみたすべき条件，および共有点の座標を求めよ．
(3) (2)の場合に，曲線ととで囲まれた部分の面積を，曲線ととで囲まれた2つの部分の面積の和をとする．との比を求めよ．
方針
原点対称は 、 軸対称は で式を移す。共有点条件は となり、 の2次方程式に帰着する。ちょうど2点だけになる条件では、正の が1つだけ出る場合を、積が1であることまで含めて絞る。面積は を代入して差の多項式を因数分解し、交点と符号を確認して絶対値つき積分に直す。
解答
(1)
の右辺を とおく。
原点に関して対称な点は で移るので、曲線 上の点 は をみたす。したがって である。
また、 軸に関して対称な曲線 は によって得られるから である。
(2)
と の共有点では である。よって すなわち を得る。
ここで とおくと、 であり となる。もし なら、 のとき の1点だけ、 のときは共有点が無数にあるので、条件をみたさない。したがって である。
この2次方程式の2つの解の積は である。相異なる正の解が2つあれば がそれぞれ出て共有点は4点になる。一方、負の解は実数 を与えない。よって共有点がちょうど2点になるには、正の重解を1つもつしかない。解の積が であるから、その重解は である。
したがって でなければならないので である。このとき 、すなわち が共有点の 座標である。
(3)
以下、 とする。まず であるから、 と の上下の差の絶対値は である。交点は なので
である。ここで
より である。
次に である。交点の 座標は であり、囲まれる2つの部分は原点に関して対称である。したがって
となる。実際、 では の符号が一定であるから、絶対値を上の形に直せる。
計算すると
である。よって となる。
以上より である。