問題
座標平面上を動く長さ の線分を考える．この線分の中点をとする．時刻におけるの座標をとし，3点，，の速度ベクトルをそれぞれ，，とする．また，ベクトルが軸の正方向となす角をとし，それに垂直な単位ベクトルをとする．
(1) ，を，，を用いて表せ．ただし，はの導関数を表す．
(2) 線分は，をみたしながら運動しているとする．ただし，初期時刻のとき，とする．このとき，，，をの式で表せ．また，点の原点からの距離をの式で表せ．
出典：九州大学 2002年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第2問
方針
線分の向きを単位ベクトル で表し、、 と置く。微分すると両端の速度の和が中点速度、差が回転速度を与える。与えられた速度条件から と がすぐ決まり、あとは初期条件つきで 、 を積分する。距離は最後に回転で長さが保たれる形にまとめる。
解答
(1)
線分 の向きを表す単位ベクトルを とおく。このとき問題文の は であり、 である。
中点が 、半分の長さが だから と表せる。両辺を時刻 で微分すると
である。よって和と差を取って
を得る。
(2)
条件より である。したがって(1)から となる。 は零ベクトルでないので であり、 より である。
また とおくと である。すなわち である。
ここで
であり、 をみたす。よって である。同様に
であり、 をみたすから である。
最後に距離を求める。上の式は、ベクトル を角 だけ回転した形になっている。回転では長さが変わらないので である。したがって である。