問題
1からまでの異なる番号が付けられた個の箱がある．各箱には，それが番号の箱ならば，白のボール個と黒のボール個のあわせて個のボールが入っている．ランダムに1箱を選び，その箱から1個のボールを取り出してボールの色を確認してからもとに戻す．この操作を同じ箱について回繰り返して，白のボールが取り出された回数を確率変数とする．以下の設問に答えよ．
(1) 整数とを，とする．番号の箱が選び出され，かつ，となる確率を求めよ．
(2) 整数をとする．となる確率を求めよ．
(3) 整数をとする．極限値を求めよ．
方針
箱番号 が選ばれた後は、白が出る確率 の試行を 回繰り返す二項型の数え上げになる。(1)で箱番号と白の回数を同時に指定した確率を求め、(2)では から まで足す。(3)は を の分割点とみて区分求積に直し、最後の積分は部分積分の反復で と求める。
解答
(1)
番号 の箱が選ばれる確率は である。この箱には白のボールが 個、黒のボールが 個入っており、全部で 個である。したがって1回の操作で白が出る確率は であり、黒が出る確率は である。
同じ箱で 回繰り返し、白がちょうど 回出る確率は
である。したがって、番号 の箱が選ばれ、かつ となる確率は
である。
(2)
となるには、選ばれた箱番号 が から までのいずれかである。これらは互いに排反なので、(1)を について足せばよい。よって
である。
(3)
(2)の和を考える。 のとき、 は区間 の分割点のように動くので、区分求積により である。
この積分を求める。部分積分を繰り返すと、非負整数 、 について である。したがって である。ここで だから である。
別解。(3)の結果は、 が大きいとき白の出る確率 が0から1までほぼ一様にばらつく、と考えると自然である。固定した成功確率 に対する二項確率 を で平均すると、どの についても同じ になる。