九州大学 2001年度
後期・理系数学 後期 第3問

解答

(1)

$y=tx$ とおく。$x>0,y>0$ なので、$x^y=y^x$ の両辺の自然対数をとると $y\log x=x\log y$ である。$y=tx$ を代入すると $tx\log x=x\log (tx)$ である。$x>0$ で割って $t\log x=\log t+\log x$ となる。したがって $(t-1)\log x=\log t$ である。$t\ne 1$ だから $\log x=\frac{\log t}{t-1}$ であり、$x(t)=t^{1/(t-1)}$ である。また $y=tx$ より $y(t)=t\cdot t^{1/(t-1)}=t^{t/(t-1)}$ である。

(2)

まず $\log y(t)=\frac{t\log t}{t-1}$ である。$t\to 0+$ のとき $t\log t\to 0$、かつ $t-1\to -1$ なので $\log y(t)\to 0$ である。したがって $\alpha ={\lim }_{t\to 0}y(t)=1$ である。

次に $t\to 1$ を考える。 $\frac{t\log t}{t-1}=t\cdot \frac{\log t}{t-1}$ であり、$\log t)/(t-1)\to 1$、$t\to 1$ だから $\log y(t)\to 1$ である。よって $\beta ={\lim }_{t\to 1}y(t)=e$ である。

(3)

まず $\log x(t)=\frac{\log t}{t-1}$ である。これを微分すると

である。$t>0$ では分母は正である。分子を $A(t)=t-1-t\log t$ とおくと、$A(1)=0$ であり $A^{\prime }(t)=-\log t$ である。$0<t<1$ では $A^{\prime }(t)>0$ で、$t=1$ に向かって増加して0になるから $A(t)<0$ である。$t>1$ では $A^{\prime }(t)<0$ で、$t=1$ から減少するからやはり $A(t)<0$ である。したがって $x(t)$ は $t$ の増加とともに減少する。

一方 $\log y(t)=\frac{t\log t}{t-1}$ を微分すると $\frac{d}{dt}\log y(t)=\frac{t-1-\log t}{(t-1{)}^2}$ である。分子を $B(t)=t-1-\log t$ とおくと、$B(1)=0$、$B^{\prime }(t)=1-\frac{1}{t}=\frac{t-1}{t}$ である。よって $0<t<1$ では $B$ は減少して $B(1)=0$ に至るので $B(t)>0$、$t>1$ では増加して $B(t)>0$ である。したがって $y(t)$ は $t$ の増加とともに増加する。

つまり $t$ が増えると、曲線 $C$ 上の点は $x$ 座標が減少し、$y$ 座標が増加する。よって $y=g(x)$ は $x$ が増えると減少する関数である。したがって $g(x)$ は単調に減少する。