九州大学 2001年度後期・理系数学後期第2問解答・解説

問題

以下の設問に答えよ．

(1) 正の実数 $a$ ， $b$ ， $c$ に対してつぎの不等式が成り立つことを証明せよ．

\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} ≧ \frac{9}{a + b + c}

(2) 正の実数 $x_{i}$ $(i = 1, 2, \dots\dots, n)$ に対してつぎの不等式が成り立つことを証明せよ．

i = 1 \sum n \frac{1}{x _{i}} ≧ \frac{n ^{2}}{i = 1 \sum n x _{i}}

出典：九州大学 2001年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第2問

方針

正の数に対して $(\sum 1/ x_{i}) (\sum x_{i})$ を考え、 $x_{i}$ と $1/ x_{i}$ にコーシー・シュワルツの不等式を適用する。(1)は $n = 3$ の場合として示し、(2)では同じ計算を一般の $n$ 個で書く。等号はすべての $x_{i}$ が等しいときに起こることも確認しておく。

解答

(1)

コーシー・シュワルツの不等式より

(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) (a + b + c) ≧ (\frac{1}{a} a + \frac{1}{b} b + \frac{1}{c} c)^{2}

である。右辺は $(1 + 1 + 1)^{2} = 9$ である。 $a + b + c > 0$ なので両辺を $a + b + c$ で割って $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} ≧ \frac{9}{a + b + c}$ を得る。

(2)

同様に、正の実数 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ について

(i = 1 \sum n \frac{1}{x _{i}}) (i = 1 \sum n x_{i}) ≧ (i = 1 \sum n \frac{1}{x _{i}} x_{i})^{2}

である。右辺は $(1 + 1 + \dots + 1)^{2} = n^{2}$ である。 $x_{i} > 0$ だから $\sum_{i = 1}^{n} x_{i} > 0$ であり、これで割ると $\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{x _{i}} ≧ \frac{n ^{2}}{\sum _{i = 1}^{n} x _{i}}$ となる。

別解。(1)は相加平均と調和平均の関係としても見られる。正の数では「平均の逆数の平均」は「平均の逆数」以上であり、 $a, b, c$ に適用すると同じ不等式になる。ただし答案では、上のようにコーシー・シュワルツで書くと一般の $n$ にそのまま拡張できる。

九州大学 2001年度後期・理系数学 後期 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

九州大学 2001年度
後期・理系数学後期第2問