九州大学 2001年度
後期・理系数学 後期 第1問

解答

(1)

楕円 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ の上半分は $y=b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}$ で表される。これで囲まれた図形を $x$ 軸のまわりに回転すると、断面は半径 $y$ の円になるから、体積は

である。計算すると

である。

(2)

接点 $P(s,t)$ は楕円上にあるので $\frac{s^2}{a^2}+\frac{t^2}{b^2}=1$ である。楕円の $(s,t)$ における接線は $\frac{sx}{a^2}+\frac{ty}{b^2}=1$ である。この直線の $x$ 切片は $\frac{a^2}{s}$ であり、$y$ 切片は $\frac{b^2}{t}$ である。

この接線と座標軸でできる三角形を $x$ 軸のまわりに回転すると、高さ $a^2/s$、底面半径 $b^2/t$ の円錐ができる。その体積は $\frac{1}{3}\pi {\left(\frac{b^2}{t}\right)}^2\frac{a^2}{s}$ である。

一方、楕円の第1象限部分と座標軸で囲まれる部分を $x$ 軸のまわりに回転した体積は、(1)の全体の半分であるから $\frac{2}{3}\pi a{b}^2$ である。したがって求める体積は

である。

(3)

接点 $P$ が第1象限の楕円上を動くので $s=a\cos \theta ,t=b\sin \theta ,0<\theta <\frac{\pi }{2}$ とおける。(2)の式に代入すると

である。よって $V=\frac{\pi a{b}^2}{3}\left(\frac{1}{\cos \theta {\sin }^2\theta }-2\right)$ となる。

したがって $V$ を最小にするには、$\cos \theta {\sin }^2\theta$ を最大にすればよい。$u=\cos \theta$ とおくと $0<u<1$ であり、$\cos \theta {\sin }^2\theta =u(1-u^2)$ である。この関数を $H(u)$ とすると $H^{\prime }(u)=1-3u^2$ である。よって最大は $u=\frac{1}{\sqrt{3}}$ で生じ、そのとき $H(u)=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(1-\frac{1}{3}\right)=\frac{2}{3\sqrt{3}}$ である。

したがって $\frac{1}{\cos \theta {\sin }^2\theta }=\frac{3\sqrt{3}}{2}$ となり、最小値は $V_{\min }=\frac{\pi a{b}^2}{3}\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}-2\right)$ である。また $\cos \theta =\frac{1}{\sqrt{3}},\sin \theta =\sqrt{\frac{2}{3}}$ だから、そのときの接点は $P=\left(\frac{a}{\sqrt{3}},b\sqrt{\frac{2}{3}}\right)$ である。