九州大学 1999年度後期・理系数学後期第4問解答・解説

問題

袋の中に赤球 $n$ 個，白球 $n$ 個が入っている．そこから1つずつ球を無作為に取り出し，もとには戻さない．動点 $Q$ は平面座標上の原点 $(0, 0)$ から出発し，取り出された球の色に応じて，赤ならば $x$ 軸の正の向きに1だけ，白ならば $y$ 軸の正の向きに1だけ進む． $k$ ， $l$ をそれぞれ負でない整数とし，動点 $Q$ が平面座標上の点 $(k, l)$ を訪れる確率を $p_{n} (k, l)$ とおく．

(1) $p_{n} (1, 2)$ を求めよ．ただし， $n ≧ 2$ とする．

(2) $p_{n} (k, l)$ を求めよ．ただし， $n ≧ k$ ， $n ≧ l$ および $k + l > 0$ とする．

(3) $k$ ， $l$ を固定して $n \to \infty lim p_{n} (k, l)$ を求めよ．

出典：九州大学 1999年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第4問

方針

点 $(k, l)$ を訪れるとは，最初の $k + l$ 回の取り出しで赤が $k$ 個，白が $l$ 個出ることと同じである。全体の取り出し順は， $2 n$ 個の位置から赤の位置を $n$ 個選ぶものとして数えられる。(1) は $(1, 2)$ の特別な場合として数え，(2) は同じ考えを一般化する。(3) は $k, l$ を固定して，有限個の最初の取り出しでは赤白がそれぞれ確率 $1/2$ に近づくことを，組合せ式の比の極限として示す。

解答

(1)

点 $(1, 2)$ を訪れるためには，最初の $3$ 回の取り出しで赤が $1$ 個，白が $2$ 個出ればよい。全体の取り出し順は， $2 n$ 回のうち赤が出る $n$ 回を選ぶことで決まるので，全部で $_{2 n} C_{n}$ 通りである。

有利な場合を数える。最初の $3$ 回のうち赤の位置を $1$ つ選ぶ方法は $_{3} C_{1}$ 通りである。残り $2 n - 3$ 回には，赤が $n - 1$ 個，白が $n - 2$ 個残るので，赤の位置を選ぶ方法は $_{2 n - 3} C_{n - 1}$ 通りである。したがって

p_{n} (1, 2) = \frac{_{3} C _{1} _{2 n - 3} C _{n - 1}}{_{2 n} C _{n}} .

これを整理すると

p_{n} (1, 2) = 3 \cdot \frac{( 2 n - 3 )!}{( n - 1 )! ( n - 2 )!} \cdot \frac{n ! n !}{( 2 n )!} = 3 \cdot \frac{n}{4 ( 2 n - 1 )} .

よって $p_{n} (1, 2) = \frac{3 n}{4 ( 2 n - 1 )}$ である。

(2)

点 $(k, l)$ を訪れるためには，最初の $k + l$ 回の取り出しで赤が $k$ 個，白が $l$ 個出ればよい。最初の $k + l$ 回における赤の位置の選び方は $_{k + l} C_{k}$ 通りである。その後の $2 n - k - l$ 回には，赤が $n - k$ 個，白が $n - l$ 個残るので，赤の位置の選び方は $_{2 n - k - l} C_{n - k}$ 通りである。

全体の場合の数は $_{2 n} C_{n}$ 通りなので

p_{n} (k, l) = \frac{_{k + l} C _{k} _{2 n - k - l} C _{n - k}}{_{2 n} C _{n}}

である。

(3)

(2) の式を変形して極限を調べる。 $k, l$ は固定されているので，

p_{n} (k, l) =_{k + l} C_{k} \cdot \frac{( 2 n - k - l )!}{( n - k )! ( n - l )!} \cdot \frac{n ! n !}{( 2 n )!} .

右側の比は，分子に $n$ から始まる $k$ 個の因子と $n$ から始まる $l$ 個の因子をもち，分母に $2 n$ から始まる $k + l$ 個の因子をもつ。すなわち

\frac{n ( n - 1 ) \dots ( n - k + 1 ) n ( n - 1 ) \dots ( n - l + 1 )}{( 2 n ) ( 2 n - 1 ) \dots ( 2 n - k - l + 1 )}

である。各因子を $n$ で割って $n \to \infty$ とすると，分子の各因子は $1$ ，分母の各因子は $2$ に近づく。したがって

n \to \infty lim \frac{( 2 n - k - l )!}{( n - k )! ( n - l )!} \cdot \frac{n ! n !}{( 2 n )!} = \frac{1}{2 ^{k + l}} .

よって

n \to \infty lim p_{n} (k, l) = \frac{_{k + l} C _{k}}{2 ^{k + l}}

である。

九州大学 1999年度後期・理系数学 後期 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

九州大学 1999年度
後期・理系数学後期第4問