九州大学 1999年度
後期・理系数学 後期 第3問
- 試験区分
- 後期日程 第2次学力試験
- 対象
- 理系（後期）
- 分野
- 複素数平面、方程式・不等式
- 解法
- 複素数の極形式、回転・拡大、展開・因数分解
- 難易度
- 6 / 10 計算量 5 / 10 目安 —
問題
複素数αとβを次で定める．
(1) αを解にもち，しかもすべての係数が実数であるような2次方程式を求めよ．
(2) αおよびβの両方を解にもち，しかもすべての係数が実数であるような4次方程式を求めよ．
(3) β5を求めよ．
出典：九州大学 1999年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第3問
方針
α,β は実部と虚部から絶対値が 4 であることが見える。まず α=4(cos72∘+isin72∘)，β=4(cos144∘+isin144∘) と確認する。(1)(2) は実係数方程式なので，各複素数とその共役を組にした二次方程式を作る。(3) は β の極形式から偏角を五倍し，144∘×5=720∘ を使う。
解答
(1)
まず α の絶対値を計算する。
∣α∣2=(5−1)2+(10+25)2=(6−25)+(10+25)=16.
よって ∣α∣=4 である。また 4Reα=45−1=cos72∘, かつ虚部は正なので 4Imα=sin72∘. したがって α=4(cos72∘+isin72∘). 実係数の二次方程式で α を解にもつなら，共役複素数 α も解にもつ。したがって求める二次方程式は (x−α)(x−α)=0 である。これは x2−(α+α)x+αα=0 すなわち x2−2(5−1)x+16=0 である。
(2)
同様に β について調べる。
∣β∣2=(−5−1)2+(10−25)2=(6+25)+(10−25)=16.
また 4Reβ=−45+1=cos144∘, 虚部は正なので β=4(cos144∘+isin144∘). したがって β,β を解にもつ二次方程式は x2−(β+β)x+ββ=0 であり，x2+2(5+1)x+16=0 となる。 α,α,β,β を解にもつ四次方程式は，この二つの二次式の積である。よって {x2−2(5−1)x+16}{x2+2(5+1)x+16}=0. 展開すると
x4+{2(5+1)−2(5−1)}x3+{32−4(5−1)(5+1)}x2+16{2(5+1)−2(5−1)}x+256=0.
ここで 2(5+1)−2(5−1)=4,4(5−1)(5+1)=16 なので x4+4x3+16x2+64x+256=0 である。
(3)
(2) で見たように β=4(cos144∘+isin144∘) である。したがって β5=45{cos(5⋅144∘)+isin(5⋅144∘)}. ここで 5⋅144∘=720∘ であるから β5=1024(cos720∘+isin720∘)=1024.
