九州大学 1999年度
後期・理系数学 後期 第1問
- 試験区分
- 後期日程 第2次学力試験
- 対象
- 理系（後期）
- 分野
- 数列、図形と方程式
- 解法
- 特性方程式、和の計算、極限計算
- 難易度
- 5 / 10 計算量 4 / 10 目安 —
問題
f(x)=−21x+3とする．x1=1とおいて数列
xn=f(xn−1)(n=2,3,4,⋯⋯)
をつくり，平面座標上に点Pn(xn,f(xn))をとる．このとき，次の問いに答えよ．
(1) 数列{xn}の一般項xnを求めよ．
(2) 動点Pが点P1を出発して，P2,P3,⋯⋯,Pn,⋯⋯と進むとき，動点Pはどのような点に近づくか．その座標を求めよ．
(3) 線分PnPn+1の長さをln (n=1,2,3,⋯⋯)とする．L=n=1∑∞lnを求めよ．
出典：九州大学 1999年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第1問
方針
一次関数の反復なので，まず固定点 x=2 を見つけ，xn−2 の形に直して等比数列として解く。点 Pn は (xn,xn+1) と書けるので，極限は xn の極限からすぐに出る。線分長は Pn+1−Pn の二成分を xn+1−xn で表すと等比的に並ぶため，無限等比級数として和を求める。
解答
(1)
固定点を求めると x=−21x+3 より 23x=3,x=2 である。したがって漸化式を固定点からの差で書くと xn−2=−21(xn−1−2) となる。x1=1 なので x1−2=−1. よって
xn−2=(−21)n−1(x1−2)=−(−21)n−1.
したがって xn=2−(−21)n−1 である。
(2)
点 Pn は Pn=(xn,f(xn))=(xn,xn+1) と書ける。(1) より (−21)n−1→0 なので xn→2,xn+1→2. したがって動点 P は (2,2) に近づく。
(3)
まず
xn+1−xn={2−(−21)n}−{2−(−21)n−1}=(−21)n−1(1+21)=23(−21)n−1.
また xn+2−xn+1=−21(xn+1−xn) である。したがって
ln=(xn+1−xn)2+(xn+2−xn+1)2=∣xn+1−xn∣1+41=23(21)n−1⋅25=435(21)n−1.
よって
L=n=1∑∞ln=435n=1∑∞(21)n−1=435⋅1−1/21.
したがって L=235 である。
