九州大学 1999年度後期・理系数学後期第2問解答・解説

問題

関数 $f (x) = x + \frac{1}{x}$ について以下の問いに答えよ．

(1) 曲線 $y = f (x)$ の接線のうち，傾きが $a$ であるものは $a < 1$ のとき2つ存在する．その2つの方程式を求めよ．

(2) 第1象限において，曲線 $y = f (x)$ とその接線および直線 $x = 2 c$ により囲まれる領域の面積 $S$ を求めよ．ただし， $c$ は接点の $x$ 座標である．

(3) 2つの接線の間の距離 $D$ を $a$ の関数として表せ．また， $D$ の最大値を求めよ．

出典：九州大学 1999年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第2問

方針

(1) は $f^{'} (x) = 1 - 1/ x^{2}$ から傾き $a$ をもつ接点を $x = \pm c$ とおく。接線の切片は接点を代入して丁寧に整理する。(2) は第1象限なので正の接点 $x = c$ の接線を使い，曲線と接線の差を $c$ から $2 c$ まで積分する。(3) は二本の接線が平行であることから直線間距離を出し， $u = 1/ c^{2} = 1 - a$ とおいて一変数関数 $D^{2}$ の最大値を求める。

解答

(1)

$f (x) = x + \frac{1}{x}$ より $f^{'} (x) = 1 - \frac{1}{x ^{2}} .$ 傾きが $a$ であるためには $1 - \frac{1}{x ^{2}} = a$ である。これは $x^{2} = \frac{1}{1 - a}$ を意味するので，接点が二つ存在するのは $a < 1$ のときである。ここで $c = \frac{1}{1 - a} > 0$ とおくと，接点の $x$ 座標は $x = c, - c$ である。また $a = 1 - \frac{1}{c ^{2}}$ である。 $x = c$ での接線は $y = a (x - c) + c + \frac{1}{c}$ である。切片を整理すると $c + \frac{1}{c} - a c = c + \frac{1}{c} - (1 - \frac{1}{c ^{2}}) c = \frac{2}{c}$ だから $y = (1 - \frac{1}{c ^{2}}) x + \frac{2}{c} .$ 同様に $x = - c$ での接線は $y = (1 - \frac{1}{c ^{2}}) x - \frac{2}{c} .$ したがって二つの接線は

y = (1 - \frac{1}{c ^{2}}) x \pm \frac{2}{c}, c = \frac{1}{1 - a}

である。

(2)

第1象限の接点は $x = c$ である。曲線と接線の差は

(x + \frac{1}{x}) - {(1 - \frac{1}{c ^{2}}) x + \frac{2}{c}} = \frac{x}{c ^{2}} + \frac{1}{x} - \frac{2}{c} .

したがって求める面積は $S = \int_{c}^{2 c} (\frac{x}{c ^{2}} + \frac{1}{x} - \frac{2}{c}) d x .$ 計算すると

S = [\frac{x ^{2}}{2 c ^{2}} + lo g x - \frac{2 x}{c}]_{c}^{2 c} = (2 + lo g (2 c) - 4) - (\frac{1}{2} + lo g c - 2) = lo g 2 - \frac{1}{2} .

よって $S = lo g 2 - \frac{1}{2}$ である。

(3)

二つの接線は平行で，傾きは $1 - \frac{1}{c ^{2}}$ である。切片の差は $4/ c$ だから，二直線間の距離は $D = \frac{4/ c}{1 + ( 1 - \frac{1}{c ^{2}} ) ^{2}} .$ ここで $u = \frac{1}{c ^{2}} = 1 - a$ とおくと， $u > 0$ であり $D^{2} = \frac{16 u}{( 1 - u ) ^{2} + 1} = \frac{16 u}{u ^{2} - 2 u + 2} .$ 右辺を $G (u)$ とおくと

G^{'} (u) = \frac{16 {( u ^{2} - 2 u + 2 ) - u ( 2 u - 2 )}}{( u ^{2} - 2 u + 2 ) ^{2}} = \frac{16 ( 2 - u ^{2} )}{( u ^{2} - 2 u + 2 ) ^{2}} .

したがって $u > 0$ では $u = 2$ で最大となる。これは $a = 1 - 2$ に対応する。このとき $D_{max}^{2} = \frac{16 2}{( 1 - 2 ) ^{2} + 1} = 8 + 82 .$ よって

D = \frac{4/ c}{1 + a ^{2}}, D_{max} = 8 + 82

である。

九州大学 1999年度後期・理系数学 後期 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

九州大学 1999年度
後期・理系数学後期第2問