九州大学 1999年度文系数学第3問(a) 解答・解説

問題

実数 $p$ ，自然数 $q$ に対して，数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ をそれぞれ

a_{1} = 1, a_{n + 1} = p a_{n} - p,

b_{1} = q, b_{n + 1} = b_{n} + (- 1)^{n + 1} q

と定める．

(1) ${a_{n}}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_{n}$ を求めよ．

(2) 数列 ${a_{n}}$ をはじめから順に区画に分け，第 $m$ 区画に属する項の個数が $b_{m}$ となるようにする． $m$ を正の偶数とするとき第 $m$ 区画に属する項の和 $T_{m}$ を求めよ．

出典：九州大学 1999年度前期日程第2次学力試験文系第3問(a)

方針

(1) は $p = 1$ と $p \neq = 1$ で漸化式の解き方が変わる。 $p \neq = 1$ では定数解を引いて等比数列に直し，そこから和を求める。(2) ではまず $b_{n}$ が $q, 2 q, q, 2 q, \dots$ と交互になることを確認する。 $m$ が偶数なので，第 $m$ 区画の直前までの項数と終わりまでの項数を明確にし， $T_{m} = S_{j} - S_{i}$ に代入する。

解答

(1)

まず $p = 1$ の場合を考える。このとき $a_{n + 1} = a_{n} - 1$ であり， $a_{1} = 1$ だから $a_{n} = 2 - n .$ したがって $S_{n} = \sum_{r = 1}^{n} (2 - r) = 2 n - \frac{n ( n + 1 )}{2} = \frac{n ( 3 - n )}{2} .$ 次に $p \neq = 1$ とする。漸化式 $a_{n + 1} = p a_{n} - p$ の定数解を $A$ とすると $A = p A - p$ より $A = \frac{p}{p - 1} .$ よって $a_{n + 1} - \frac{p}{p - 1} = p (a_{n} - \frac{p}{p - 1}) .$ したがって

a_{n} - \frac{p}{p - 1} = p^{n - 1} (1 - \frac{p}{p - 1}) = - \frac{p ^{n - 1}}{p - 1},

すなわち $a_{n} = \frac{p - p ^{n - 1}}{p - 1} .$ ゆえに

S_{n} = r = 1 \sum n \frac{p - p ^{r - 1}}{p - 1} = \frac{n p}{p - 1} - \frac{1}{p - 1} \cdot \frac{p ^{n} - 1}{p - 1}

であるから $S_{n} = \frac{n p}{p - 1} - \frac{p ^{n} - 1}{( p - 1 ) ^{2}}$ である。

(2)

$b_{n}$ については $b_{1} = q,$ また $b_{2} = b_{1} + q = 2 q,$ である。さらに $b_{n + 2} = b_{n}$ となるので $b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4}, \dots = q, 2 q, q, 2 q, \dots$ と交互に並ぶ。 $m$ は正の偶数とする。第 $m$ 区画の直前までの項数を $i$ ，第 $m$ 区画までの項数を $j$ とする。第 $1$ 区画から第 $m - 1$ 区画までには，長さ $q$ の区画が $m /2$ 個，長さ $2 q$ の区画が $m /2 - 1$ 個ある。したがって

i = \frac{m}{2} q + (\frac{m}{2} - 1) 2 q = (\frac{3 m}{2} - 2) q .

第 $m$ 区画は偶数番目なので長さ $2 q$ であるから $j = i + 2 q = \frac{3 m q}{2} .$ よって $T_{m} = S_{j} - S_{i}$ である。 $p = 1$ のときは $S_{n} = n (3 - n) /2$ より

T_{m} = \frac{j ( 3 - j ) - i ( 3 - i )}{2} = \frac{( j - i ) { 3 - ( i + j )}}{2} .

ここで $j - i = 2 q$ ， $i + j = (3 m - 2) q$ だから $T_{m} = q {3 - (3 m - 2) q} .$ $p \neq = 1$ のときは $S_{n} = \frac{n p}{p - 1} - \frac{p ^{n} - 1}{( p - 1 ) ^{2}}$ を用いて

T_{m} = \frac{( j - i ) p}{p - 1} - \frac{p ^{j} - p ^{i}}{( p - 1 ) ^{2}} = \frac{2 pq}{p - 1} - \frac{p ^{3 m q /2} - p ^{(3 m /2 - 2) q}}{( p - 1 ) ^{2}} .

したがって $T_{m} = \frac{2 pq}{p - 1} - \frac{p ^{3 m q /2} - p ^{(3 m /2 - 2) q}}{( p - 1 ) ^{2}}$ である。

九州大学 1999年度文系数学 第3問(a)

問題

方針

解答

(1)

(2)

九州大学 1999年度
文系数学第3問(a)