九州大学 1999年度文系数学第1問解答・解説

問題

$k$ を実数として

f (x) = x^{2} - 2 k x + \frac{1}{5} (2 k - 1) (4 k - 3)

とおく．方程式 $f (x) = 0$ が実数解 $α$ ， $β$ $(α ≦ β)$ をもつとき，次の問に答えよ．

(1) $α$ ， $β$ が $α ≦ 1 ≦ β$ をみたすように $k$ の値の範囲を定めよ．

(2) (1)の場合に $f (x)$ の最小値がとりうる値の範囲を求めよ．

出典：九州大学 1999年度前期日程第2次学力試験文系第1問

方針

上に開く二次関数で， $α ≦ 1 ≦ β$ という根の位置条件は，点 $x = 1$ が二つの根の間に入ることを意味する。したがってまず $f (1) ≦ 0$ を計算して $k$ の範囲を出す。この条件が成り立てば二次方程式は実数解をもつので，別に判別式を調べ直す必要はない。(2) では平方完成で $f (x)$ 全体の最小値を $k$ の二次式にし，(1) で得た閉区間上でその値域を調べる。

解答

(1)

$f (x)$ は上に開く二次関数である。二つの実数解を $α ≦ β$ とすると， $α ≦ 1 ≦ β$ であることは， $x = 1$ が二つの根の間にあることと同じである。したがって条件は $f (1) ≦ 0$ である。

実際に計算すると

f (1) = 1 - 2 k + \frac{1}{5} (2 k - 1) (4 k - 3) = 1 - 2 k + \frac{1}{5} (8 k^{2} - 10 k + 3) = \frac{1}{5} (8 k^{2} - 20 k + 8) = \frac{4}{5} (2 k - 1) (k - 2) .

よって $\frac{4}{5} (2 k - 1) (k - 2) ≦ 0$ より $\frac{1}{2} ≦ k ≦ 2$ である。

(2)

平方完成すると

f (x) = x^{2} - 2 k x + \frac{1}{5} (2 k - 1) (4 k - 3) = (x - k)^{2} - k^{2} + \frac{1}{5} (8 k^{2} - 10 k + 3) = (x - k)^{2} + \frac{1}{5} (3 k^{2} - 10 k + 3) .

したがって $f (x)$ の最小値は $g (k) = \frac{1}{5} (3 k^{2} - 10 k + 3)$ である。

(1) より $\frac{1}{2} ≦ k ≦ 2$ である。この範囲で $g (k)$ の値域を調べる。平方完成すると $g (k) = \frac{3}{5} (k - \frac{5}{3})^{2} - \frac{16}{15} .$ よって最小値は $k = \frac{5}{3}$ のとき $- \frac{16}{15}$ である。最大値は端点で比較すればよく， $g (\frac{1}{2}) = \frac{1}{5} (\frac{3}{4} - 5 + 3) = - \frac{1}{4},$ また $g (2) = \frac{1}{5} (12 - 20 + 3) = - 1$ であるから，最大値は $k = \frac{1}{2}$ のとき $- \frac{1}{4}$ である。

したがって求める範囲は $- \frac{16}{15} ≦ min f (x) ≦ - \frac{1}{4}$ である。

九州大学 1999年度文系数学 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

九州大学 1999年度
文系数学第1問