九州大学 1999年度文系数学第2問解答・解説

問題

長さ2の線分 $A B$ を直径とする円を底面とし，高さが $3$ の直円錐を考える．この直円錐の側面上で2点 $A$ ， $B$ を結ぶ最短の道を $l$ とする．直円錐の頂点を $C$ ，底面の中心を $O$ とし以下の問に答えよ．

(1) 直円錐の展開図をもちいて $l$ の長さを求めよ．

(2) $l$ 上の点 $P$ に対して，線分 $C P$ の延長と弧 $A B$ の交点を $Q$ とする． $∠ A O Q = θ$ として $C P^{2}$ を $sin θ$ で表せ．ただし， $0^{\circ} ≦ θ ≦ 180^{\circ}$ とする．

(3) $P$ から線分 $O Q$ に下ろした垂線を $P R$ とし， $A$ から線分 $O Q$ に下ろした垂線を $A S$ とする． $0^{\circ} < θ ≦ 90^{\circ}$ の範囲で $\frac{O S ^{2}}{O Q ^{2}}$ の最大値を求めよ．

出典：九州大学 1999年度前期日程第2次学力試験文系第2問

方針

側面の最短経路は円錐を展開して直線で考える。(1) では母線長と扇形の中心角を出し，底面で半周離れた $A, B$ が展開図ではどれだけ離れるかを弧長対応で決める。(2) では展開図上の三角形 $C A P$ に正弦定理を用いて $C P^{2}$ を $sin θ$ で表す。(3) は設問文の分母が $O Q^{2}$ となっているが，直前に垂線 $P R$ を定義していること，および既存解答の流れからは $O R^{2}$ と読むのが自然である。印字通りの場合も確認し，意図された比では $t = sin θ$ の三次式を最大化する。

解答

(1)

底面の直径は $A B = 2$ であるから，底面の半径は $1$ である。高さは $3$ なので，母線の長さは $1^{2} + (3)^{2} = 2.$ 側面の展開図は半径 $2$ の扇形である。扇形の弧長は底面円周 $2 π$ に等しいから，中心角を $ϕ$ とすると $2 ϕ = 2 π$ より $ϕ = π .$ 点 $A, B$ は底面円で半周だけ離れているので，対応する弧長は $π$ である。展開図の半径は $2$ だから，展開図上での中心角は $\frac{π}{2}$ である。したがって側面上の最短経路 $l$ は，展開図上で半径 $2$ ，中心角 $π /2$ の弦となる。よって $l = 2 \cdot 2 sin \frac{π}{4} = 22 .$ (2)

展開図上で，弧 $A Q$ に対応する底面での中心角が $θ$ であるから，展開図上での中心角 $∠ A C Q$ は $θ /2$ である。点 $P$ は直線 $A B$ と半直線 $C Q$ の交点なので，三角形 $C A P$ に注目する。

展開図で $C A = C B = 2$ ， $∠ A C B = 9 0^{\circ}$ であるから， $∠ C A P = 4 5^{\circ}$ である。また $∠ A C P = θ /2$ である。したがって

∠ C P A = 18 0^{\circ} - 4 5^{\circ} - \frac{θ}{2} = 13 5^{\circ} - \frac{θ}{2} .

正弦定理より

\frac{C P}{sin 4 5 ^{\circ}} = \frac{C A}{sin ( 13 5 ^{\circ} - θ /2 )} = \frac{2}{sin ( 13 5 ^{\circ} - θ /2 )} .

ここで

sin (13 5^{\circ} - \frac{θ}{2}) = \frac{1}{2} (sin \frac{θ}{2} + cos \frac{θ}{2})

であるから $C P = \frac{2}{s i n ( θ /2 ) + c o s ( θ /2 )} .$ したがって

C P^{2} = \frac{4}{( sin ( θ /2 ) + cos ( θ /2 ) ) ^{2}} = \frac{4}{1 + sin θ} .

(3)

問題文の分母をそのまま $O Q^{2}$ と読むと， $O Q = 1$ ， $O S = cos θ$ であるから $\frac{O S ^{2}}{O Q ^{2}} = cos^{2} θ .$ 範囲が $0^{\circ} < θ ≦ 9 0^{\circ}$ なので，この値は $1$ にいくらでも近づくが， $θ = 0^{\circ}$ が含まれないため最大値は存在しない。

一方，垂線 $P R$ を定義していることから，設問意図は $O S^{2} / O R^{2}$ の最大値を問うものと考えられる。この場合を求める。軸を含む断面で見ると， $O R$ は $C P$ の底面方向成分であり $O R = C P sin 3 0^{\circ} = \frac{C P}{2} .$ (2) より $O R^{2} = \frac{C P ^{2}}{4} = \frac{1}{1 + s i n θ} .$ また，底面で $A$ から $O Q$ へ下ろした垂線の足を $S$ としているから $O S = cos θ .$ したがって， $t = sin θ$ とおくと $0 < t ≦ 1$ で $\frac{O S ^{2}}{O R ^{2}} = cos^{2} θ (1 + sin θ) = (1 - t^{2}) (1 + t) .$ これを $F (t) = - t^{3} - t^{2} + t + 1$ とおくと $F^{'} (t) = - 3 t^{2} - 2 t + 1 = - (t + 1) (3 t - 1) .$ よって $0 < t ≦ 1$ では $t = 1/3$ で最大となる。その値は

F (\frac{1}{3}) = (1 - \frac{1}{9}) (1 + \frac{1}{3}) = \frac{8}{9} \cdot \frac{4}{3} = \frac{32}{27} .

九州大学 1999年度文系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(3)

九州大学 1999年度
文系数学第2問