問題
曲線を，原点を通りに接する直線をとする．曲線，直線および軸で囲まれる図形を，点を通る直線によってその面積を二等分するように分けたとき，との接点の側にある図形をとする．このとき次の問に答えよ．ただし，は境界を含むものとする．
(1) の面積を求めよ．
(2) 赤白2個のさいころを同時に投げ，赤いさいころの目の数を，白いさいころの目の数をとする．点がに属しているときの最小値が以下となる確率を求めよ．
方針
まず原点を通る接線の接点を求め、領域全体の面積を正しく計算する。面積は なので、接点側の領域 は になる。分割直線と接線 の交点を と置き、 の面積を で表して を求める。最後に の最小値が境界の端点 または で決まることを使って、さいころの36通りを数える。
解答
(1)
とおくと である。原点を通る接線の接点を とすると、接線の傾きは に等しいので である。したがって より である。接線 は である。
曲線 は で 軸と交わる。よって、、、 軸で囲まれる全体の面積は
である。これを計算すると であり、
である。したがって全体の面積は である。
次に、点 を通る分割直線が と交わる点を とおく。接点側の領域は、曲線側の部分
と、 から までの直線と に挟まれる部分からなる。
直線 の方程式は である。したがって、 から までの部分の面積は
である。
接点側の面積は全体の半分、すなわち であるから である。これを解くと である。したがって の面積は である。
(2)
(1)より、分割直線と の交点は である。また とする。 はさいころの目なので正である。領域 上で の最小値を考える。曲線 上では 、 なので であり、点 で になる。接線 上の から接点までの部分では、 も も増加するので最小は である。直線 上では一次式の最小は端点で起こる。したがって である。
これが 以下になる場合を数える。 のときは なので、 の6通りすべてがよい。 のときは なので、点 での値を調べればよい。 では である。 を用いると、 では 以下で、 では より大きい。したがって では3通りである。 では、最小の としても であるから不適である。
以上より有利な出目は 通りである。全事象は36通りなので、求める確率は である。